[Risolto] Problema sulla dinamica rotazionale

Le auto ibride immagazzinano fino a Ek = 300 kJ di energia cinetica in un volano, che ha la forma di un guscio cilindrico di massa m = 6,5 kg e raggio r pari a 12 cm.

• Quale deve essere la velocità angolare ω del cilindro?

• E la sua frequenza f?

• L'energia Ek è immagazzinata in t = 4,3 s: qual è il momento M delle forze sul volano?

M. o I. = I = m*r^2 = 6,5*0,12^2 = 6,5*144*10^-4 kg*m^2

2Ek = I*ω^2

ω = √2Ek/I = 100*10√6*10^3/(6,5*144) = 2.531,8 rad/s = 2πf

frequenza f = ω/2π = 2.531,8/6,2832 = 403,0 Hz (giri/s)

N = 60f = 24.177 giri/min 

Ek = M*ω/2*t (moto uniformemente accelerato)

M = 2Ek/(ω*t) = 600/(2,5318*4,3) = 55,11 N*m

Ε = 1/2·Ι·ω^2= energia cinetica di rotazione = 300000  J

Ι = m·r^2 = momento di inerzia di un guscio cilindrico

Quindi:

ω = √(2·(Ε/Ι)) = √(2·(Ε/(m·r^2)))

ω = √(2·300000/6.5)/0.12 = 2532 rad/s (circa)

ma:

ω = 2·pi/T = 2·pi·f-----> f = ω/(2·pi) = 2532/(2·pi)

f = 403 Hz circa (giri /s)

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Μ = Ι·α = equazione del moto rotatorio

α = 2532/4.3 = accelerazione angolare

α = 588.8 rad/s^2 (circa)

Μ = (m·r^2)·α = (6.5·0.12^2)·588.8

Μ = 55.11 Nm

Energia cinetica rotazionale:

Ec = 1/2 I ω^2 = 300 000 J;

I = momento d'inerzia del guscio:

I = m r^2 ;

r = 0,12 m;

I = 6,5 * 0,12^2 = 0,0936 kgm^2;

1/2 (0,0936) ω^2 = 300 000 J;

ω = radicequadrata(2 * 300 000 /0,0936);

ω = radice(6,41 * 10^6) = 2532 rad/s;

ω = 2,5 * 10^3 rad/s;

ω = 2 π f;

frequenza f:

f = ω / 2 π = 2532 / (2 * 3,14) = 403 Hz;

f = 4,0 * 10^2 Hz;

Momento delle forze:

M = I * (accelerazione angolare)

accelerazione angolare alfa:  

α = ( ω - ωo) / t = 2532 / 4,3 = 589 rad/s^2;

M = 0,0936 * 589 = 55 Nm.

Ciao @kylie_