Considera una circonferenza di raggio $r$ una sua corda $\overline{A B}=r$. Sul maggiore dei due archi $\overparen{A B}$ prendi un punto $P$ e poni $P \widehat{B} A=x$. Determina $\overline{B P}$ in funzione di $x$ e trova per quali valori di $x$ si ha $\overline{B P}=r \sqrt{2}$.
$$
\left[\overline{B P}=2 r \sin \left(\frac{5}{6} \pi-x\right) ; x=\frac{\pi}{12} \vee x=\frac{7}{12} \pi\right]
$$
Mi servirebbe aiuto per risolvere questo problema (n177) relativo ai teoremi sui triangoli
46
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Livello 0
Essendo la corda AB congruente con il raggio della circonferenza, il triangolo AOB è equilatero. L'angolo in O risulta quindi essere un angolo di 60 gradi e il corrispondente angolo alla circonferenza APB=30°
Posto: PBA=x, 0< x < 150°
possiamo calcolare:
BAP= 180 - (x+30) = 150 - x
Quindi il segmento BP è:
BP = 2r* sin(150 - x)
Imponendo la condizione: BP=r*radice (2) si ottiene :
sin(150 - x) = radice (2)/2 , con 0<x<150
Quindi:
(150 - x) = 45 ==> x= 105° (7/12 * pi)
oppure:
(150 - x) = 135 ==> x= 15° (pi/12)
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Genius II
@stefanopescetto 👍👌👍
Th della corda:
ΑC = 2·r·SIN(β)----> SIN(β) = ΑC/(2·r) = 8/(2·5)
SIN(β) = 4/5
COS(β) = √(1 - (4/5)^2)------> COS(β) = 3/5
SIN(δ) = 4/5 sempre Th della corda
COS(δ) = - 3/5
β angolo acuto; δ angolo ottuso
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Genius III
@lucianop 👍👌👍
AB = BC = x
40^2 = 2x^2-2x^2*12/13
800 = x^2(1-12/13)
x = √800*13 = 102,0 cm
CH = √102^2-20^2 = 100 cm
area A = 100*20 = 2000 cm^3
raggio r = x^2*40/4A = 102^2*40/8000 = 52 cm
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Genius III
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calcolo dell'angolo AOC con F. Viete (aka teorema del coseno)
8^2 = 5^2+5^2-2*5^2*cos AOC
32 = 5^2(1-cos AOC)
32 = 25(1-cos AOC)
1-cos AOC = 32/25
cos AOC = 1-32/25
AOC = arccos -7/25 = 106,26°
angolo D = AOC/2 = 53,13°
sin D = 0,800 = 4/5
cos D = 0,600 = 3/5
angolo B = 180-D = 180-53,13° = 126,87°
sin B = 0,800 = 4/5
cos D = 0,600 = 3/5
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Genius III
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OH = √r^2-(r√2 /2)^2 = r√1-1/2 = r√2 /2
CH = (2r+r√2)/2 = r(2+√2)/2
angolo C = 2*arctan (√2 )/(2+√2) = 45,00°;135,00° (π/4;3π/4)
bonus :
area A = r√2 /2*(2r+r√2)/2 = 2r^2√2 /4 +2r^2/4 = r^2√2 /2+r^2/2 =r^2/2(√2+1)
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Genius III
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BC = 12l
AB = 12l*sin 45/sin 30 = 12l*√2
AC = 12l*sin (60+45)/sin 30 = 24l*(√2+√6)/4 = 6l(√2+√6)
12^2l^2 = 2r^2-2r^2*cos60°
144l^2 = 2r^2-r^2
144l^2 = r^2
r = 12l
perimetro 2p = 12l+12l√2+6l(√2+√6) = 6l(2+2√2+√2+√6) = 6l(2+3√2+√6)
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Genius III
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OH = √2^2-(8√5/9)^2 = 0,2222 u
CH = r+OH = 2+0,2222 = 2,2222 u
AC = BC = √2,2222^2+64/81*5 = 2,9814 u
perimetro 2p = 5,9628+16/9√5 = 2,6666√5+16√5 /9 = 40/9√5
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Genius III
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