In un riferimento Oxy marcato in centimetri definisco le seguenti entità
* punti A(- 6, 0), O(0, 0), B(6, 0), C(10, 0)
* circonferenza Γ ≡ x^2 + y^2 = 6^2
* retta CD ≡ y = - (3/4)*(x - 10)
* retta CE ≡ y = + (3/4)*(x - 10)
* punti D(18/5, - 24/5), E(18/5, + 24/5)
* punto incognito P(10 - 32*k/5, - 24*k/5) & (0 < k < 1)
* distanza |PD| = a = 8*|k - 1| & (0 < k < 1) → a = 8*(1 - k)
* distanza |PC| = b = 8*k
* distanza |CE| = c = 8
con cui scrivere e risolvere il sistema
* ("4/3 PD - 3PC + 2CE = cm. 18") & (0 < k < 1) ≡
≡ (4*a/3 - 3*b + 2*c - 18 = 0) & (0 < k < 1) ≡
≡ (4*8*(1 - k)/3 - 3*8*k + 2*8 - 18 = 0) & (0 < k < 1) ≡
≡ (104*(1/4 - k)/3 = 0) & (0 < k < 1) ≡
≡ k = 1/4
da cui
* P(10 - 32*(1/4)/5, - 24*(1/4)/5) = (42/5, - 6/5)
* |PC| = b = 8*1/4 = 2
che è proprio il risultato atteso.
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Vedi il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%5E2%3D9*%28x-10%29%5E2%2F16%2Cx%5E2%2By%5E2%3D36%2C%28x-10%29%5E2%2By%5E2%3D4%5D
dove il cerchietto di raggio due seca le tangenti in P e P'.
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DETTAGLI
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(y = m*(x - 10)) & ( x^2 + y^2 = 6^2) →
→ x^2 + (m*(x - 10))^2 - 6^2 = 0 →
→ Δ(m) = - 16*(16*m^2 - 9) → m = ± 3/4
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CD + CE ≡ y^2 - ((3/4)*(x - 10))^2 = 0 ≡ y^2 = 9*(x - 10)^2/16
(y^2 = 9*(x - 10)^2/16) & (x^2 + y^2 = 6^2) ≡ (18/5, ± 24/5)
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segmento CD ≡ P = C + k*(D - C) =
= (10, 0) + k*((18/5, - 24/5) - (10, 0)) = (10 - 32*k/5, - 24*k/5)
