Problema sui segmenti

Con riferimento alla figura calcoliamo:

AM+AN =(x + y/2) + (x + y + z/2) = 2·x + 3·y/2 + z/2

Calcoliamo poi:

AC+(AB+AD)/2=(x + y) + (2·x + y + z)/2 = (4·x + 3·y + z)/2=

=2·x + 3·y/2 + z/2

Quindi, avendo definito con x.y,z le misure dei tre segmenti abbiamo dimostrato la validità della relazione del testo.

Puoi esprimere le due somme a sinistra e a destra in termini di AB, BC, CD.

Nel modo qui illustrato.

Se ti può aiutare, fai riferimento a questa immagine. Dato che $M$ è il punto medio di $\overline{BC}$, questo vuol dire che $\overline{BM} \cong \frac{\overline{BC}}{2}$, analogamente $\overline{CN} \cong \frac{\overline{CD}}{2}$. Nota ora che $\overline{AM}\cong\overline{AB}+\overline{BM}\cong\overline{AB}+\frac{\overline{BC}}{2}$ (perché sono segmenti consecutivi e adiacenti). Allo stesso modo $\overline{AN} \cong \overline{AB} + \overline{BC} + \frac{\overline{CD}}{2}$, facciamo questa somma:

$\overline{AM} + \overline{AN} \cong \overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AB}+\frac{\overline{BC}}{2}+\frac{\overline{CD}}{2} $ (ho cambiato l'ordine della somma per evidenziare alcune cose).

Nota che $\overline{AB} + \overline{BC} \cong \overline{AC}$, il resto lo sommiamo sotto un unico denominatore:

$\overline{AM} + \overline{AN} \cong \overline{AC} + \frac{2\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}}{2} \cong \overline{AC} + \frac{\overline{AB}+\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}}{2}$ Ma nota che $\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} \cong \overline{AD}$, quindi:
$\overline{AM} + \overline{AN} \cong \overline{AC} + \frac{\overline{AB} + \overline{AD}}{2}$ come volevasi dimostrare.