[Risolto] Problema sui fasci di rette

@lupa

Ciao e benvenuta.

Fascio generato dalle rette 3x +y -2=0 e x+2y+1=0 

3·x + y - 2 + λ·(x + 2·y + 1) = 0-------> x·(λ + 3) + y·(2·λ + 1) + λ - 2 = 0

Fascio proprio di rette:

{3·x + y - 2 = 0

{x + 2·y + 1 = 0

Centro del fascio: [x = 1 ∧ y = -1]

Il simmetrico del centro del fascio rispetto al punto (-2;3)

{-2 = (1 + x)/2

{3 = (-1 + y)/2

quindi: 

{x = -5

{y = 7

quindi:       [x = -5 ∧ y = 7]

La retta del fascio passante per A (2;-2)

2·(λ + 3) + (-2)·(2·λ + 1) + λ - 2 = 0------> 2 - λ = 0-----> λ = 2

x·(2 + 3) + y·(2·2 + 1) + 2 - 2 = 0--------> 5·x + 5·y = 0-----> x + y =0

La retta del fascio perpendicolare alla retta x-4y-1=0

Il fascio è:

x·(λ + 3) + y·(2·λ + 1) + λ - 2 = 0 , la retta è:

x - 4·y - 1 = 0

La condizione di perpendicolarità fra due rette di questo tipo, si scrive: aa'+bb'=0, quindi:

(λ + 3) - 4·(2·λ + 1) = 0-----> - 7·λ - 1 = 0-----> λ = - 1/7

quindi: x·(- 1/7 + 3) + y·(2·(- 1/7) + 1) + (- 1/7) - 2 = 0

20·x/7 + 5·y/7 - 15/7 = 0-------> 4·x + y - 3 = 0

Le rette del fascio che hanno distanza dall'origine uguale a √5/5

d = ABS(λ - 2)/√((λ + 3)^2 + (2·λ + 1)^2) = √5/5

Risolvo ed ottengo: λ = 1/3

quindi: x·(1/3 + 3) + y·(2·(1/3) + 1) + 1/3 - 2 = 0

10·x/3 + 5·y/3 = 5/3--------> 2·x + y = 1