Problema:
Un neutrone di massa \( m_n \) si muove con velocità iniziale \( v_{in} = {5.2\times 10^5}{m/s} \) e urta elasticamente un nucleo di elio (detto particella \( a \)) inizialmente fermo.
La massa del nucleo di elio è circa 4 volte quella del neutrone: \( m_a = 4m_n \).
Dopo l’urto, la particella \( a \) emerge con un angolo di diffusione \( \theta_a = 42^\circ \) rispetto alla direzione iniziale del neutrone.
Calcola l'angolo di diffusione del neutrone e i moduli delle velocità delle due particelle dopo l'urto
Suggerimento: sfruttare l’identità trigonometrica \( \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1 \), valida per ogni angolo \( \varphi \).
Soluzione:
Attendere conferma della soluzione.
Si impone, nel piano, la conservazione della quantità di moto separatamente nelle direzioni \( x \) e \( y \):
lungo \( x \):
\[
m_n v_{in} = m_n v_n \cos \theta_n + 4m_n v_a \cos \theta_a
\Rightarrow
v_{in} = v_n \cos \theta_n + 4 v_a \cos \theta_a \tag{1}
\]
lungo \( y \):
\[
0 = v_n \sin \theta_n - 4 v_a \sin \theta_a
\Rightarrow
v_n \sin \theta_n = 4 v_a \sin \theta_a \tag{2}
\]
Poiché l’urto è elastico, si conserva l’energia cinetica totale:
\[
\frac{1}{2} m_n v_{in}^2 = \frac{1}{2} m_n v_n^2 + \frac{1}{2} \cdot 4m_n \cdot v_a^2
\Rightarrow
v_{in}^2 = v_n^2 + 4 v_a^2 \tag{3}
\]
Dalle equazioni (1) e (2), si ricava \( \sin \theta_n \) e \( \cos \theta_n \):
\[
\sin \theta_n = \frac{4 v_a \sin \theta_a}{v_n}, \quad
\cos \theta_n = \frac{v_{in} - 4 v_a \cos \theta_a}{v_n}
\]
Utilizzando l’identità trigonometrica:
\[
\left( \frac{4 v_a \sin \theta_a}{v_n} \right)^2 +
\left( \frac{v_{in} - 4 v_a \cos \theta_a}{v_n} \right)^2 = 1
\]
Moltiplicando per \( v_n^2 \):
\[
16 v_a^2 \sin^2 \theta_a +
(v_{in} - 4 v_a \cos \theta_a)^2 = v_n^2 \tag{4}
\]
Ora da (3): \( v_n^2 = v_{in}^2 - 4 v_a^2 \).
Si sostituisce in (4):
\[
16 v_a^2 \sin^2 \theta_a + (v_{in} - 4 v_a \cos \theta_a)^2 = v_{in}^2 - 4 v_a^2
\]
Inserendo i valori numerici:
\[
v_{in} = {5.2 \times 10^5}{m/s}, \quad
\theta_a = 42^\circ, \quad
\cos \theta_a \approx 0.7431, \quad
\sin \theta_a \approx 0.6691
\]
Sostituendo e risolvendo numericamente si ottiene:
\[
v_a \approx {1.55\times 10^5}{m/s}
\]
Dall'equazione (3):
\[
v_n^2 = v_{in}^2 - 4 v_a^2
\Rightarrow
v_n \approx {4.18 \times 10^5}{m/s}
\]
Infine, dall’equazione (2):
\[
\sin \theta_n = \frac{4 v_a \sin \theta_a}{v_n}
\Rightarrow
\theta_n \approx 81.7^\circ
\]
