[Risolto] Problema su triangoli

$Triangoli$ $isoperimetrici$

Innanzitutto due triangoli sono $isoperimetrici$ quando hanno lo stesso perimetro o in alternativa, usando un linguaggio un po più formale, possiamo dire che il perimetro del primo triangolo e il perimetro del secondo triangolo sono $isomorfi$ ( cioè conservano tutte le proprietà ). Ecco un esempio di $isomorfismo$ :

Da questa definizione possiamo dedurre delle notevoli particolarità. Per prima cosa possiamo osservare che quando due triangoli hanno lo stesso perimetro non implica necessariamente che sono uguali infatti basta guardare la figura sopra, per rendersene conto.

Un'altra dimostrazione è il modo in cui si partiziona un intero. Cioè un modo di scrivere $n$ ( intero positivo ) come somma di interi positivi. Basti pensare che il numero di partizioni o modi in cui si può scrivere $8$ come somma di interi positivi è $22$. Talvolta indicato con il simbolo $p$$\bigl($ $8$ $\bigr)$ $=$ $22$. Dunque il perimetro del triangolo si può ottenere in diversi modi come somma di $3$ numeri interi.

Non entrando troppo nei dettagli andiamo al dunque. Per ipotesi sappiamo che la base e il lato obliquo del primo triangolo misurano rispettivamente $20$$cm$ e $25$$cm$. Sappiamo anche che la base del secondo triangolo è la meta della base del primo triangolo quindi misurerà $10$$cm$.

Vediamo di calcolare il perimetro del primo triangolo così automaticamente avremo calcolato anche quello del secondo.

$perimetro$ $=$ $2$ $\cdot$ $lato$ $obliquo$ $+$ $base$ $\iff$ $perimetro$ $=$ $2$ $\cdot$ $25$$cm$ $+$ $20$$cm$ $=$ $70$

Dunque il perimetro del primo triangolo ( e anche del secondo ) misura $70$ $cm$. Sapendo che la base del secondo triangolo misura $10$$cm$ è un gioco da ragazzi determinare il lato obliquo. Basta fare :

$2$ $\cdot$ $lato$ $obliquo$ $=$ $perimetro$ $-$ $base$ $\iff$ $2$ $\cdot$ $lato$ $obliquo$ $=$ $70$$cm$ $-$ $10$ $=$ $60$$cm$ 

$\iff$ $\displaystyle \frac{ 2  \cdot lato obliquo }{ 2 }$ $=$ $\displaystyle\frac{ 60 }{ 2 }$ $\iff$ $\displaystyle \frac{ \cancel{ 2 } \cdot lato obliquo }{ \cancel{ 2 } }$ $=$ $\displaystyle\frac{ \cancel{ 60 } }{ \cancel{ 2 } }$  $\iff$ $lato$ $obliquo$ $=$ $30$$cm$.

In conclusione il lato obliquo del secondo triangolo misura $30$ $cm$

Ti mostro il disegno qui dei due triangoli:

$AB=25cm$

$BC=20cm$

Il perimetro del triangolo ABC è uguale al perimetro del triangolo DEF, essendo isoperimetrici:

$2p(ABC)=2p(DEF)=20+(25 \cdot 2)=20+50=70cm$

$FE=CB2=10cm$

Il lato obliquo è

$DE=(2p(DEF)-10):2$

Quindi

$DE=(70-10)2=30cm$

1° triangolo 

2p = 2*25+20 = 70 cm

2° triangolo 

2p = 70 cm

b = 10 cm

lo = (70-10)/2 = 30 cm