Problema su parallelepipedo retto rettangolo

 

OSS 1)

Sono interessato al calcolo del prodotto ab che rappresenta la superficie di base del prisma, non al valore di a e b. Conoscendo area di base e altezza, determino il volume del solido.

Dalla relazione 

 

(a+b)² - 2ab = a²+b² 

Quindi:

ab = [(a+b)² - (a²+b²)] /2

 

Oss 2)

Essendo la diagonale di base 5, ricordando che 3-4-5 è una terna pitagorica primitiva, si potevano ricavare velocemente a=3, b=4, c= 6 [S_lat = 2c*(a+b) = 84]

Ma buttalo via quel testo! E' piano di parametri che non servono a nulla : solamente ad allungare il brodo di conti.

Poni a=1......

{(x + y) + z = 13

{x^2 + y^2 = 5^2

{2·(x + y)·z = 84

avendo indicato x ed y le misure degli spigoli di base e z la misura dell'altezza.

dalla 1^ e dalla 3^:

z = 13 - (x + y) e z = 42/(x + y)------> 13 - (x + y) = 42/(x + y)

la seconda la scriviamo nel seguente modo: (x + y)^2 - 2·x·y = 25

Poniamo poi:

{x + y = s

{x·y = p

(somma e prodotto delle due incognite x ed y)

{13·s - s^2 = 42

{s^2 - 2·p = 25

risolviamo: [p = 12 ∧ s = 7, p = 11/2 ∧ s = 6]

Quindi:

{x + y = 7

{x·y = 12

quindi: [x = 3 ∧ y = 4, x = 4 ∧ y = 3]

{x + y = 6

{x·y = 11/2

risolviamo: [x = √14/2 + 3 ∧ y = 3 - √14/2, x = 3 - √14/2 ∧ y = √14/2 + 3]

SISTEMI SIMMETRICI

nei due casi abbiamo: z = 13 - 7----> z = 6

quindi il primo volume possibile:

v1 = 3·4·6= 72 (se poi ci vuoi aggiungere a^3...)

secondo caso:

x + y = √14/2 + 3 + 3 - √14/2 = 6

e secondo volume:

v2 = (√14/2 + 3)·(3 - √14/2)·7 = 77/2  (se poi ci vuoi aggiungere a^3...)

Finish

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La somma dei tre spigoli uscenti da uno stesso vertice di un parallelepipedo retto rettangolo è L+l+h = 13a, la diagonale di base d = 5a e l'area della superficie laterale è Al = 84a^2. Trovare il volume del parallelepipedo. Risposta V1= 72a^3 oppure V2= 77/2 a^3. 

L+l = 13-h

2(13-h)*h = 84

h^2-13h+42 = 0 

h = (13±√13^2-42*4) / 2 = (13±1)/2 ;  h1 = 7 ; h2 = 6 

 

con h1= 7 

L1+l1 = 13-h1 = 13-7 = 6

L1^2+l1^2 = 25 

(6-l1)^2+l1^2 = 25

36+l1^2-12l1+l1^2 = 25

2l1^2-12l1+11 = 0

l1 = (12±√12^2-8*11 )/4 = (12±2√14)/4 = 1,129  ; L1 = 4,871 

V1 = L1*l1*h = a^3*5,50*7 = 38,50 a^3

 

con h2 = 6

L1+l1 = 13-h2 = 13-6 = 7

L1^2+l1^2 = 25 

(7-l1)^2+l1^2 = 25

49+l1^2-14l1+l1^2 = 25

2l1^2-14l1+24 = 0

l1 = (14±√14^2-8*24 )/4 = (14±2)/4 = 3,0  ; L1 = 4,0 

V1 = L1*L1*h = a^3*12*6 = 72 a^3

 

 

Chiamiamo x , y , le due dimensioni di base, il terzo spigolo h è l'altezza 

x + y + h = 13 a;  (1)

Perimetro di base = 2 * (x + y);

Area laterale = 2 * (x + y) * h ;

2 * (x + y) * h = 84 a^2;  (2)

diagonale di base: d = 5 a;

 x^2 + y^2 = d^2;

x^2 + y^2 = 25 a^2;  (3).

 

x + y = 13 a - h;  (1)

x + y = 84 a^2 / (2 * h); (2)

x^2 + y^2 = 25 a^2;  (3).

Eguagliamo (1) con (2); troviamo h;

13 a - h = 84 a^2 / (2 * h);

(13 a - h) * (2 h) = 84 a^2;

26 a h - 2 h^2  = 84 a^2;

13 a h -  h^2 - 42 a^2 = 0;  cambiamo il segno.

h^2 - 13 a h + 42 a^2 = 0;

h = [13 a +- radice ((13a)^2 - 4 *(42a^2) )]/ 2;

h = [13 a +- radice(169a^2 - 168a^2)] /2;

h = [13 a  +- (a)]/2;

h1= 12a/2 = 6a;

h2 = 14 a/2 = 7a;

prendiamo h1 = 6a;

x + y = 13a - 6a = 7a; (1)

x + y = 84a^2 / (2 * 6a) ; (2);

 

x + y = 7a;(1)

x^2 + y^2 = 25a^2; (3)

(x + y)^2 - 2xy  = 25a^2 ;

(x + y)^2 = 25a^2 + 2xy,

(7a)^2 - 25a^2 = 2 xy;

xy = (49a^2 - 25a^2) / 2;

xy = 12a^2; (area di base);

Volume1 = 12 a^2 * 6a = 72  a^3.

 

(x + y) = 7a; abbiamo somma e prodotto

equazione:

z^2 - 7a z + 12a^2 = 0;

z1 = 3a, (x)

z2 = 4a; (y);

Area di base = x * y = 12 a^2;

h1 = 6a;

Volume = 12 a^2 * 6a = 72  a^3.

Ciao. @beppe

 

Con i tuoi simboli chiamo (x, y) i lati della faccia base e "z" il terzo spigolo, ma "k" e non "a" il parametro unità di lunghezza.
Dalla narrativa ricavo le relazioni (in unità di k, k^2, k^3) di eguaglianza
* "La somma dei tre spigoli ..." ≡ x + y + z = 13
* "... la diagonale di base ..." ≡ √(x^2 + y^2) = 5
* "... area della superficie laterale ..." ≡ 2*(x + y)*z = 84
* "Trovare il volume ..." ≡ V = x*y*z
e dalla natura del problema le disequazioni
* (0 < x < 5) & (0 < y < 5) & (3 <= z < 13)
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Passo passo
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* (x + y + z = 13) & (2*(x + y)*z = 84) ≡
≡ (z = 6) & (y = 7 - x) oppure (z = 7) & (y = 6 - x)
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* (z = 6) & (y = 7 - x) & (√(x^2 + y^2) = 5) ≡
≡ (x = 3) & (y = 4) & (z = 6) oppure (x = 4) & (y = 3) & (z = 6)
* V = 3*4*6 = 72
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* (z = 7) & (y = 6 - x) & (√(x^2 + y^2) = 5) ≡
≡ (x = 3 - √(7/2)) & (y = 3 + √(7/2)) & (z = 7) oppure (x = 3 + √(7/2)) & (y = - √(7/2)) & (z = 7)
* V = (3 - √(7/2))*(3 + √(7/2))*7 = 77/2
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Risultati
* V = (V = 72*k^3) oppure (V = 72*k^3/2)