Problema ricerca di un flesso

Question

Tra le funzioni di equazione y= frac {1}{3} x^3+2 k x^2+k^2 x-30 k con k  geq 0$, trova quella il cui punto di flesso ha la minima ordinata. [k= sqrt {3}]  [attach]38109[/attach] Non riesco a capire come svolgere il problema! Ho provato facendo la derivata prima che viene un’equazione di secondo grado, studiando il segno (sempre tenendomi k) però mi viene fuori che c’è un massimo in -2k-k radice3 (scusate non so come scrivere il simbolo di radice) e poi un minimo in -2k+k rad3 la mia idea era prendere il valore della x del minimo ed imporre la derivata seconda in quel valore uguale a zero… ma non mi convince ed infatti non mi viene… mi potete dire i passaggi (anche senza calcoli!) grazie

EidosM · Accepted Answer

Punto di flesso

é radice di y'' = 0

y' = x^2 + 4kx + k^2

y'' = 2x + 4k = 0 => x = -2k

g(k) = y(-2k) = 1/3 * (-8k^3) + 2k*4k^2 - k^2*2k - 30k = - 8/3 k^3 + 8k^3 - 2k^3 - 30k =

= 10/3 k^3 - 30k

il minimo di questa si trova ponendo g'(k) = 0

10 k^2 - 30 = 0 => k^2 = 3 => k = +- rad(3)

e verificando che g'' é positiva

g''(k) = 20 k positiva per k > 0.

Allora k* = rad(3).

Per verificare che il minimo é assoluto devi confrontare con i valori assunti da g(k)

agli estremi di variabilità di k

g(0) = 0 e lim_k->+oo g(k) = +oo

k = rad(3) => g* = 10/3 * 3 rad(3) - 30 rad(3) = - 20 rad(3) < 0

EidosM

(@eidosm)

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25/02/2023 12:55

exProf · Answer

"non so come scrivere il simbolo di radice"
Come per molti altri simboli UTF8 il modo più semplice è per Copia/Incolla da un elenco messo da parte in un qualche file di lavoro
∓ ± √() ∫ → ∞ ~= α β γ δ ∂ ε η θ ζ λ μ ν π ρ σ ς τ ξ υ φ χ χ^2 ω Γ ≡ Δ Ξ Λ Π Σ Φ Ω «» € ≠ ≈ ö ≤ ≥ × · ← ↑ → ↓ ↔ ↕ ¬ Ø ∩ ∪ ∧ ∨ £ ♠ ♣ ♥ ♦ © • ÷ ○ ◦ ` ó ⟂ ∈ ∇ ™ ≺ ≅ ª ä, ë, ï, ö, ü
------------------------------
"mi potete dire i passaggi (anche senza calcoli!)"
---------------
A) Con k >= 0 le cubiche del fascio
* f(x) = y = x^3/3 + 2*k*x^2 + (k^2)*x - 30*k
hanno derivate
* f'(x) = x^2 + 4*k*x + k^2
* f''(x) = 2*(2*k + x)
---------------
B) Dalla condizione di flesso, f''(x) = 0, si ha
* f''(x) = 2*(2*k + x) = 0 ≡ xF = - 2*k
da cui
* f(xF) = yF(k) = (- 2*k)^3/3 + 2*k*(- 2*k)^2 + (k^2)*(- 2*k) - 30*k =
= (10/3)*(k + 3)*k*(k - 3) >= - 20*√3 = yF(√3)
---------------
C) Dettagli
* y(k) = (10/3)*(k + 3)*k*(k - 3)
* y'(k) = 10*(k^2 - 3)
* y''(k) = 20*k
La condizione di minimo relativo è
* (y'(k) = 0) & (y''(k) > 0) & (k >= 0)

exProf

(@exprof)

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26/02/2023 00:50

remanzini_rinaldo · Answer

...ricerca di un fesso !!!??? [attach]38197[/attach] ..l'hai trovato 🤭😉

[Risolto] Problema ricerca di un flesso

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