Problema relativo a poligoni simili

AC e AB sono i cateti di ABC;

AC + AB = 68 cm;

AC = 12/5 di AB;

AC / AB = 12/5;

AC : AB = 12 : 5;  proporzione;

(AC + AB) : AC = (12 + 5) : 12;  proprietà del comporre;

68 : AC = 17 : 12;

AC = 68 * 12 / 17 = 4 * 12 = 48 cm;  cateto maggiore;

AB = 68 - 48 = 20 cm; cateto minore;

Area di ABC :

A1= 48 * 20 / 2 = 480 cm^2;

Area di A'B'C':

A2 = 30 cm^2;

rapporto tra le Aree:

A2 / A1 = 30 / 480 = 1/16;

rapporto tra i lati = radicequadrata(1/16) = 1/4;

i lati del triangolo A'B'C' sono 1/4 di quelli di ABC;

ipotenusa del triangolo ABC:

BC = radicequadrata(48^2 + 20^2) = radice(2304 + 400);

BC = radice(2704) = 52 cm;

ipotenusa del triangolo più piccolo A'B'C':

B'C' = 52 * 1/4 = 13 cm.

Ciao  @t77

La somma dei cateti di un triangolo rettangolo misura 68 cm e un cateto è 12/5 dell'altro. 

Calcola la misura dell'ipotenusa di un triangolo simile avente l'area di 30 centimetri quadrati.    (13 cm)

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Il triangolo primitivo simile a quello dato ha ipotenusa pari a:

√(12^2 + 5^2) = 13 quindi (5,12,13) sono le misure espresse in cm di tale triangolo rettangolo.

Per tale triangolo, l'area è pari a:

A= 1/2·5·12 = 30 cm^2 pari a quella indicata nel testo. Quindi la misura dell'ipotenusa richiesta è proprio 13 cm

La somma dei cateti di un triangolo rettangolo misura 68 cm e un cateto è 12/5 dell'altro. 

Calcola la misura dell'ipotenusa di un triangolo simile avente l'area di 30 centimetri quadrati. 

(13 cm)

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1° triangolo rettangolo:

cateto maggiore $\small C_1= \dfrac{68}{12+5}×12 = \dfrac{68}{17}×12 = 48\,cm;$

cateto minore $\small c_1= \dfrac{68}{12+5}×5 = \dfrac{68}{17}×5 = 20\,cm;$

area $\small A_1= \dfrac{C_1×c_1}{2} = \dfrac{48×\cancel{20}^{10}}{\cancel2_1} = 48×10 = 480\,cm;$

2° triangolo rettangolo:

area $\small A_2= 30\,cm^2;$

rapporto tra le aree $\small k^2= \dfrac{A_2}{A_1} = \dfrac{30}{480} = \dfrac{1}{16};$

rapporto tra i lati $\small k= \sqrt{\dfrac{1}{16}} = \dfrac{1}{4};$

quindi:

cateto maggiore $\small C_2= \dfrac{1}{4}×C_1 = \dfrac{1}{4}×48 = 12\,cm;$

cateto minore $\small c_2= \dfrac{1}{4}×c_1 = \dfrac{1}{4}×20 = 5\,cm;$

ipotenusa $\small i= \sqrt{12^2+5^2} = 13\,cm$ (teorema di Pitagora).

La somma dei cateti di un triangolo rettangolo misura 68 cm e un cateto è 12/5 dell'altro. 

Calcola la misura dell'ipotenusa di un triangolo simile avente l'area di 30 centimetri quadrati. 

(13 cm)

c+12c/5 = 17c/5 = 68 cm 

cateto minore c = 68/17*5 = 20 cm 

cateto maggiore C = 12c/5 = 4*12 = 48 cm 

ipotenusa i = 4√5^2+12^2 = 4*13 = 52 cm 

x*12x/10 = 30

12x^2 = 300

x = √50/2 = 5,0  cm

y = 5*12/5 = 12 cm 

ipotenusa i = √5^2+12^2 = 13 cm