[Risolto] Problema ottimizzazione

Tu che guardi il risultato non capisci il motivo per cui "serve il calcolo della derivata seconda", e figurati noi che il risultato non lo vediamo perché dimenticasti di trascriverlo.
Però, analizzando la formulazione di ciò che hai trascritto, si vede chiaramente che di derivate ne servono tre; quindi il motivo per cui serve il calcolo della derivata seconda è semplice da capire: per poterla derivare e ottenere la derivata terza!
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MOTIVAZIONI
Da
* f(x) = 3000*x^2/(9 + x^2)
si calcola la derivata prima
* g(x) = df/dx = 54000*x/(9 + x^2)^2
che esprime la variazione nel tempo (x) dell'andamento (aumento o calo) delle vendite mensili: là dove g(x) è negativa le vendite calano, dov'è positiva aumentano.
Quindi il massimo aumento delle vendite è il massimo di g(x) nell'intervallo [0, 8], ossia la massima pendenza del grafico di f(x).
Il massimo su un intervallo chiuso si sceglie fra i valori agli estremi
* g(0) = 0
* g(8) = 81 + 351/5329
e i massimi relativi compresi nell'intervallo
* (g'(x) = 0) & (g''(x) < 0) & (0 <= x <= 8)
per calcolare i quali occorrono
* g'(x) = 162000*(3 - x^2)/(9 + x^2)^3
* g''(x) = 648000*(x^2 - 9)*x/(9 + x^2)^4
con le cui espressioni si ha
* (g'(x) = 0) & (g''(x) < 0) & (0 <= x <= 8) ≡
≡ (162000*(3 - x^2)/(9 + x^2)^3 = 0) & (648000*(x^2 - 9)*x/(9 + x^2)^4 < 0) & (0 <= x <= 8) ≡
≡ (x = ± √3) & (0 <= x <= 8) & (648000*(x^2 - 9)*x/(9 + x^2)^4 < 0) ≡
≡ (x = √3) & (648000*((√3)^2 - 9)*(√3)/(9 + (√3)^2)^4 = - (375/2)*√3 < 0) ≡
≡ x = √3 ~= poco meno di UN MESE E VENTIDUE GIORNI
da cui
* f(√3) = 750
* f'(√3) = 375*√3 ~= 649.52
* f''(√3) = 0
* f'''(√3) = - (375/2)*√3 ~= - 324.76
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D750%2B%28375*%E2%88%9A3%29*%28x-%E2%88%9A3%29%2Cy%3D3000*x%5E2%2F%289%2Bx%5E2%29%5Dx%3D0to8

vedi l’Intersezione fra la funzione  e la sua derivata : nel punto A si ha un aumento delle vendite:

La derivata seconda serve per stabilire il Max della funzione derivata.

(dove si ha un maggiore incremento delle vendite)

f'(x) = 3000 * [ 2x(9 + x^2) - x^2 *2x ]/(9 + x^2)^2 = 54000 x/(9 + x^2)^2

f(x) é crescente per x > 0 e quindi il massimo assoluto nell'intervallo si ha per x = 8.

Ho notato che si potrebbero evitare del tutto le derivate.

Infatti f(x) = 3000 * (9 + x^2 - 9)/(x^2 + 9) = 3000*(1 - 9/(x^2 + 9))

che si riconosce essere crescente per x > 0 in quanto composta di funzioni monotone

di cui due decrescenti.

L'aumento delle vendite é massimo quando lo é  x/(9 + x^2)^2

e qui devi derivare ancora