Problema n. 343, trapezio e trigonometria.

Question

È data la semicirconferenza di diametro $\overline{A B}=2$. All'esterno della semicirconferenza costruisci il triangolo rettangolo $A B C$ tale che $\widehat{A}=\frac{\pi}{2}$ e $\tan \widehat{B}=\frac{1}{2}$.
a. Considerato il punto $P$ della semicirconferenza tale che $A \widehat{B} P=x$, esprimi la funzione: $f(x)=\overline{C P}^{2}$
b. Rappresenta graficamente la funzione ottenuta e calcola per quale valore di $x$ l'espressione $\overline{ CP }^{2}$ assume il valore massimo.
a) $f(x)=2 \sqrt{2} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)+3$, con $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} ;$ b) $\left.x=\frac{3}{8} \pi\right]$

Anche in questo ho difficoltà.

Buona giornata e grazie mille ancora.

Autore

Risposta

Sergix

(@sergix)

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07/06/2022 10:04

LucianoP · Accepted Answer

Ciao di nuovo.

Facciamo riferimento al grafico:

Si è fatto riferimento ad un sistema di assi cartesiani. in cui la semicirconferenza viene individuata da:

y = √(1 - x^2). Quindi passiamo al triangolo rettangolo. Viene individuata la retta che definisce l'ipotenusa, retta che passa per B(1,0) di coefficiente angolare m = 1/2 come dice il testo.

y - 0 = 1/2·(x - 1) tale retta viene messa a sistema con:

{y = (x - 1)/2

{x = -1

ottenendo la posizione di C: C(-1,-1). Quindi le misure dei lati del triangolo rettangolo segnate in figura.

Quindi facciamo riferimento al triangolo APC ed applichiamo ad esso il Teorema di Carnot

(2·SIN(α))^2 + 1^2 - 2·(2·SIN(α))·1·COS(180° - α) = w^2 = PC^2

ottenendo: 4·SIN(α)·COS(α) + 4·SIN(α)^2 + 1 = w^2

cioè la funzione: f(α) = 4·SIN(α)·COS(α) + 4·SIN(α)^2 + 1

che coincide con quella data nella soluzione del testo:

2·√2·SIN(2·α - pi/4) + 3

Per il max deve essere:

f'(α) = 0--------> 8·COS(α)^2 + 8·SIN(α)·COS(α) - 4 = 0

che, per 0 ≤ α ≤ pi/2 fornisce x = 3/8·pi:

8·COS(3/8·pi)^2 + 8·SIN(3/8·pi)·COS(3/8·pi) - 4 = 0

0 = 0

LucianoP

(@lucianop)

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08/06/2022 10:28

exProf · Answer

Come t'ho scritto nel precedente, anche in questo devi precisare la difficoltà. Se non lo fai rafforzi la convinzione di @StefanoPescetto che tu sia un falso utente, e magari inizi a convincere pure qualche altro.

exProf

(@exprof)

57798 punti

livello:

Genius I

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07/06/2022 13:03

[Risolto] Problema n. 343, trapezio e trigonometria.

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