Salve, una palla da tennis è servita orizzontalmente ad un'altezza di 2.4m alla distanza di 12.2 m dalla rete di altezza 0.9m. Quale dovrebbe essere la sua velocità iniziaòe perchè arrivi ad una distanza d 15m? In queste condizioni supera la rete?
Non riesco ad impostare il problme,a si tratta di moto parabolico, giusto?
grazie
Corretto? Grazie
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Livello 1
RISPOSTE
La velocità dovrebb'essere V ~= 21.440 m/s
In queste condizioni il servizio non supera la rete.
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MOTIVAZIONI
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Come già visto qualche volta in questi ultimi giorni, la traiettoria del punto materiale si trova eliminando il tempo dalle coordinate (x, y) della posizione.
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Come unità intendo metri per la lunghezza e secondi per i tempi.
Il riferimento Oxy è quello indotto dai seguenti dati
* h = 2.4 = 12/5 = quota del punto L di lancio
* w = 0 = ascissa del punto L di lancio
* X2 = 15 = ascissa del punto di atterraggio A a quota zero
* xR = 12.2 = 61/5 = ascissa della rete
* yR = 0.9 = 9/10 = altezza della rete
* "servita orizzontalmente" vuol dire che
* L(w, h) = (0, 12/5)
è il vertice della traiettoria parabolica perché la velocità è ovunque tangente alla traiettoria e, nelle parabole con asse di simmetria verticale, il vertice è l'unico punto con tangente orizzontale.
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Poiché ogni parabola con
* asse di simmetria verticale
* apertura - a < 0 [vertice in alto]
* vertice (w, h)
ha equazione di forma
* y = h - a*(x - w)^2
ciò vuol dire che il caso descritto in narrativa dà la traiettoria
* Γ(a) ≡ y = 12/5 - a*x^2
dove l'apertura è parametrizzata dalla velocità iniziale V del lancio.
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Per preparare le risposte ai quesiti occorrono due calcoli.
1) Imporre il passaggio per A(15, 0)
* 0 = 12/5 - a*15^2 ≡ a = 4/375
da cui
* Γ ≡ y = 12/5 - (4/375)*x^2
2) Valutare la quota all'ascissa xR della rete e confrontarla con yR
* y(61/5) = 12/5 - (4/375)*(61/5)^2 = 7616/9375 < 9/10
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Con la velocità iniziale V necessaria a passare per A(15, 0) il servizio va in rete.
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Finita la geometria serve la cinematica per trovare quale V determini a = 4/375.
Si ha
* (x(t) = V*t) & (y(t) = 12/5 - (g/2)*t^2) ≡
≡ (t = x/V) & (y = 12/5 - (g/2)*(x/V)^2)
da cui
* y = 12/5 - (g/(2*V^2))*x^2
quindi con
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2 [standard SI]
si deve avere
* a = 4/375 = (196133/20000)/(2*V^2) ≡
≡ V = √2941995/80 ~= 21.440
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Genius I
@exprof grazie
Si, si tratta di moto parabolico in cui il punto iniziale è vertice della parabola, in quanto la velocità iniziale è orizzontale.
lungo x:
$x(t)=v_0*t$
lungo y:
$y(t)=y_0-0.5*g*t^2$ dove $y_0=2.4$
adesso devi trovare la traiettoria y(x) e trovare lo 0 (positivo) della parabola in funzione della tua unica incognita che è $v_0$.
Quando ce l'hai imponi che lo zero sia pari a 15 m e in questo modo trovi $v_0$ e l'espressione numerica della traiettoria.
A quel punto imponi che $x=12$ e calcoli $y(12)$ e guardi se ti viene più alto della rete oppure no.
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Livello 9
@sebastiano non ho capito, sarà un mio limite, lei è chiarissimo. Non capisco cosa significhi trovare lo 0 positivo della parabola
@Chiarachiaretta quando avrai la parabola y(x), e poni y(x)=0 per trovare la x quando la quota y è pari a 0, troverai due soluzioni simmetriche, una positiva e una negativa. a te interessa solo quella positiva, che si chiama "lo zero positivo" dell'equazione di secondo grado. Ho chiarito? 🙂
@sebastiano grazie, quindi: 0=2.4-4.9x^2
. Va bene impostata così?
@Chiarachiaretta No, $t=x/v_0$ quindi $y=2.4-4.9*x^2/v_0^2$ e quindi:
$2.4-4.9*x^2/v_0^2=0$
l'obiettivo è trovare $v_0$
tempo di caduta per gravità t = √2h/g = √4,8/9,806 = 0,700 sec
Vox = d/t = 15/0,700 = 21,43 m/sec
tempo di arrivo a rete t' = dr/Vox = 12,2/21,43 = 0,569 sec
caduta h' = g/2*t'^2 = 4,903*0,569^2 = 1,59 m
franco da terra h'' = 2,40-1,59 = 0,81 m (81 cm) ..la palla non supera la rete
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Genius II
