Il volume di un parallelepipedo rettangolo è espresso dal polinomio $3 a^{3}+7 a^{2}-18 a+8$, con $a \in$ I e $a \geq 2 .$ Sapendo che le misure degli spigoli del parallelepipedo sono numeri interi, è possibile che tali misure siano 10,7 e 2? E che siano invece 7,7 e 2 ?
$[ no$, si]
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Livello 1
Dal teorema degli zeri razionali per un polinomio P(x) a coefficienti interi, sappiamo che il polinomio è divisibile per il binomio (x - a) se P(a) =0
I possibili zeri sono da ricercare nei divisori del termine noto e nei divisori del rapporto (termine noto /coefficiente di grado massimo del polinomio P(x).
Nel nostro caso con:
P(a) =3a³ + 7a² - 18a + 8 , a>=2
risulta: P( - 4)=0, P(1)=0, P(2/3)=0
Possiamo quindi riscrivere P(a) come prodotto di tre binomi:
P(a) = (3a - 2)*(a+4)*(a - 1) , a>=2
I tre fattori rappresentano le lunghezze degli spigoli del parallelepipedo.
Quindi se vogliamo che la lunghezza degli spigoli sia (10,7,2) dobbiamo imporre la condizione:
{3a - 2= 10
{a+4 = 7
{a - 1 = 2
Il sistema è impossibile e non ammette soluzioni poiché a=3 (soluzione accettabile per la seconda e terza equazione) non verifica però la prima.
Quindi (10,7,2) non possono essere le lunghezze degli spigoli.
Se invece vogliamo che la lunghezza degli spigoli sia (7,7,2) dobbiamo imporre la condizione:
{3a - 2 = 7
{a+4 = 7
{a - 1 = 2
che fornisce la soluzione accettabile a=3 (a>=2)
Quindi (7,7,2) possono essere le lunghezze degli spigoli del solido.
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Genius II
@stefanopescetto 👍👍👍
