La circonferenza della figura ha raggio 10 , la corda $A B$ dista 6 dal centro e la retta su cui si trova $Q$ è tangente in $B$ alla circonferenza. Trova $x$ in modo che
$$
\frac{\left(\overline{B P}^2+\overline{B Q}^2\right.}{\left(\overline{O P}^2\right.} \leq 1 . \quad[0 \leq x \leq 50]
$$
23
punti
Livello 0
(es 117)
Posto il vincolo geometrico:
x >= 0
Sappiamo che:
EB= radice (10² - 6²) = 8
sin (OBA) = 6/10 = 3/5
Essendo la retta tangente alla circonferenza perpendicolare al raggio nel punto B di tangenza, gli angoli OBA e QBP sono complementari. Quindi:
sin (OBA) = cos(QBP) = 3/5
Essendo Q la proiezione ortogonale di P sulla retta tangente, possiamo dire che:
BQ = BP* cos(QBP) = (3/5)*x
Inoltre:
OP² = 6² + (8+x)²
Imponendo la condizione richiesta si ricava:
{ x> 0
{ x² + (9/25)*x² <= 6² + (8+x)²
{x> 0
{9x² - 400x - 2500 <=0
L'equazione di secondo grado ha due soluzioni, una positiva x1=50 e una negativa x2= - 50/9
La disequazione di secondo grado è verificata per valori interni all'intervallo delle radici, x2 <= x <= x1=50
Tenendo conto del vincolo geometrico:
x >= 0,
otteniamo la soluzione del problema:
S= {0 <= x <= 50}
75842
punti
Genius II
