[Risolto] Problema matematica

Semiperimetro $p= \frac{2p}{2} = \frac{60}{2} = 30~cm$;

quindi poni le due dimensioni come segue:

un lato $= x$;

altro lato $= 30-x$;

conoscendo l'area e applicandone la formula imposta la seguente equazione:

$x(30-x) = 216$

$30x -x^2 = 216$ riordina:

$-x^2+30x = 216$ cambia i segni:

$x^2-30x = -216$ eguaglia a zero:

$x^2-30x+216 = 0$

equazione di secondo grado completa quindi applica la formula risolutiva con i seguenti dati:

$a= 1$;

$b= -30$;

$c= 216$;

$∆= b^2-4ac = (-30)^2-4×1×216 = 900-864 = 36$;

$x_{1,2}= \frac{-b±\sqrt{∆}}{2a} = \frac{-(-30)±\sqrt{36}}{2×1} = \frac{30±6}{2}$

infine i risultati per i due lati:

$x_1= \frac{30-6}{2} = 12~cm$;

$x_2= \frac{30+6}{2} = 18~cm$.

Se chiami i lati del rettangolo come $x$ e $y$ allora puoi ricavare la soluzione impostando un sistema di equazioni:

$x \cdot y \,=\, 216$

$2x + 2y \,=\, 60$

Se metti in evidenza la $x$ trovi che $x \,=\, 30 - y$

Sostituisci il risultato nella prima equazione ed ottieni $y^{2} - 30y +216 \,=\, 0$

Se risolvi l'equazione di secondo grado le soluzioni risultano $y_{1} \,=\, 18 \, cm$ e $y_{2} \,=\, 12 \, cm$

di conseguenza $x_{1}\,=\,12 \, cm$  e  $x_{2} \,= \,18 \, cm$ 

(Se un lato vale 12 l'altro vale 18 e viceversa).

Proviamo a vedere se i valori sono giusti:

Area rettangolo:    $12\, cm \cdot 18\, cm \,=\, 216\, cm^{2}$

Perimetro rettangolo:     $2 \cdot (12\, cm +18\, cm) \,=\, 60\, cm$

Misure in cm e cm^2.
Ogni volta che di due quantità incognite (base e altezza) siano noti la somma s (il semiperimetro, s = 30) e il prodotto p (l'area, p = 216) esse si possono determinare pedissequamente con la procedura che Bramegupta pubblicò 14 secoli fa, se proprio non si riesce a farlo con metodi più spicciativi.
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In questo caso (s, p) sono valori interi e quindi si può tentare di lavorare sui divisori dell'area, cercandone due che assommino a 30.
I divisori naturali di 216 (6^3) sono
* {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216}
e le misure che possono essere base e altezza sono quelle equidistanti dalle graffe delimitatrici
* (1, 216), (2, 108), (3, 72), (4, 54), (6, 36)
da scartare perché il solo addendo supera la somma di trenta
* (8 + 27 = 35) + (9 + 24 = 33) + (12 + 18 = 30)
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Con questa procedura empirica, per tentativi ed errori, la soluzione è stata calcolata elencando i divisori e facendo tre sole addizioni.
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Con la procedura analitica di Bramegupta la soluzione non si calcola per tentativi ed errori, ma in modo sistematico.
Formulare l'equazione
* x^2 - s*x + p = 0 ≡ x^2 - 30*x + 216 = 0
Completare il quadrato dei termini variabili
* x^2 - 30*x + 216 = 0 ≡
≡ (x - 15)^2 - 15^2 + 216 = 0 ≡
≡ (x - 15)^2 - 3^2 = 0
Applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati"
* (x - 15)^2 - 3^2 = 0 ≡
≡ (x - 15 + 3)*(x - 15 - 3) = 0 ≡
≡ (x - 12)*(x - 18) = 0
Applicare la legge d'annullamento del prodotto
* (x - 12)*(x - 18) = 0 ≡
≡ (x - 12 = 0) oppure (x - 18 = 0) ≡
≡ (x = 12) oppure (x = 18)

un rettangolo ha l'area A di 216 centimetri quadrati ed il perimetro 2p di 60 cm trova i lati b ed h . (soluzione: 12cm e 18cm)

area A = 216 = b*h

perimetro 2p = 60 = 2(b+h)

b+h = 60/2 = 30 cm

abbiamo un sistema formato da due equazioni e due incognite

{b*h = 216

{b+h = 30

b = 30-h

(30-h)*h = 216

216-30h+h^2 = 0

la soluzione dell'equazione di 2° grado da due valori , di cui uno è h e l'altro è b ; è impossibile, in mancanza di altre informazioni , stabilire con certezza quale dei due valori sia h e quale b : con riferimento al disegno stabiliamo che h sia il minore dei 2 

h = (30-√30^2-216*4)/2 = (30-6)/2 = 12 cm  ; b = (30+6)/2 = 18 cm