Rappresenta le parabole $\gamma_1$ e $\gamma_2$ di equazioni $y=-x^2+10 x-9$ e $y=x^2-8 x+7$, e trova quale retta parallela all'asse $y$, intersecando la regione finita di piano delimitata da $\gamma_1$ e $\gamma_2$, individua la corda $P Q$ di lunghezza massima.
$$
\left[x=\frac{9}{2}\right]
$$
come faccio a trovare la corda PQ? grazie dell’aiuto
1
punto
Livello 0
La retta richiesta ha equazione x = k
e la lunghezza della corda é data da
|y2 - y1| = | x^2 - 8x + 7 + x^2 - 10x + 9 ! = |2x^2 - 18x + 16|.
Osserviamo che i punti di intersezione hanno ascisse date da
2(x^2 - 9x + 16) = 0
x = 1 e x = 8
per cui si deve trovare il massimo di 2|x^2 - 9x + 8| per 1 <= x <= 8
in questo intervallo (interno) la funzione é negativa per cui equivale a
d(x)/2 = -x^2 + 9x - 8 = - x^2 + 9x - 81/4 + 81/4 - 8 = 49/4 - (x - 9/2)^2
che é massima quando il quadrato da sottrarre é nullo e quindi x = 9/2.
Il valore massimo é 49/2 = 24.5
https://www.desmos.com/calculator/w3asuzvqq4
58339
punti
Livello 7
La differenza d(x) = γ1 - γ2 (anch'essa parabola) è positiva solo all'interno della regione comune, mentre all'esterno è illimitatamente negativa quindi la corda massima corrisponde all'ascissa del vertice di d(x)
* d(x) = (- x^2 + 10*x - 9) - (x^2 - 8*x + 7) = - 2*(x - 1)*(x - 8)
* xV = (1 + 8)/2 = 9/2
57798
punti
Genius I
