Problema matematica

y - 4 = m (x - 1)

per x = 0

y = 4 - m

m < 4

per y = 0

x - 1 = -4/m

x = 1 - 4/m

(m - 4)/m > 0

m < 0

Quindi

1/2 * (4 - m)(1 - 4/m) =

= 1/2 ( 4 - 16/m - m + 4 ) =

= 4 + 8/|m| + |m|/2

la somma di due grandezze che hanno prodotto costante

é minima quando sono uguali

allora m < 0 e

|m|/2 = 8/|m|

m^2 = 16 => m = -4 e y = 4 - 4(x - 1) => y = -4x + 8

 

Come interpretarlo
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"Fra tutte le rette passanti per il punto (1, 4)" vuol dire fra le rette
* (x = 1) oppure (r(k) ≡ y = 4 + k*(x - 1))
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"determina quella che, intersecando gli assi cartesiani," vuol dire di non considerare x = 1 che interseca un asse (non due) e di badare solo alle
* r(k) ≡ y = k*x + (4 - k) ≡ k*x - y + (4 - k) = 0
congiungenti X(0, 4 - k) e Y(1 - 4/k, 0)
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"forma nel primo quadrante il triangolo di area minima." vuol dire tre cose.
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1) La r(k) non deve passare per l'origine: r(4) farebbe fascio, non triangolo.
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2) Per essere il triangolo nel primo quadrante si deve avere
* (4 - k > 0) & (1 - 4/k > 0) ≡
≡ (k < 4) & ((k < 0) oppure (k > 4)) ≡ k < 0
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3) Dell'area S, semiprodotto dei cateti,
* S = (4 - k)*(1 - 4/k) = - (k - 4)^2/k
si deve individuare il minimo valore positivo per k < 0.
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Come risolverlo
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In generale, risolvendo il sistema della condizione di minimo (S' = 0 & S'' > 0); ma nella fattispecie in cui la funzione da minimizzare è un'iperbole del piano kOS basta calcolare le tangenti orizzontali e scegliere il punto di tangenza con k negativo.