[Risolto] Problema iperbole 3

La funzione è data dai 2 semirami di un'iperbole equilatera (asintoti fra loro perpendicolari) e precisamente, per via del segno - che compare dai due semirami negativi:

y = - √(x^2 - 9) eleviamo al quadrato: y^2 = x^2 - 9 con alcuni passaggi:

x^2 - y^2 = 9-----> x^2/9-y^2/9=1 per disegnarla non penso ci siano difficoltà:

Per quanto detto sopra, ora devi eliminare la parte positiva e risulta quindi:

Tratterò per affinità le domande che tu hai titolato "Problema iperbole" da uno a quattro e intanto ti faccio notare che solo il #1 è un problema ben posto.
Il #2 è indeterminato per carenza di vincoli; il #3 nemmeno merita il nome di problema; il #4 è una specie di barzelletta (costante positiva > 0: che c'è da Risplvere?).
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Rispetto la correttezza ortografica PRESCRITTA dal
http://www.sosmatematica.it/regolamento/
del sito: i #1, 2, 3 presentano l'orrore di "ľ"; il #3 il fantasioso "radquad()" invece del simbolo "√()" o almeno del nome standard "sqrt()"; il #4 il refuso "Risplvi" e la barzelletta "2-3x/x +2".
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Riguardo ai quesiti: i #1 e 2 richiedono di ripassare le relazioni fra le proprietà geometriche delle iperboli e le loro equazioni; i #3 e 4 non richiedono nulla di algebrico, ma solo il tracciamento di un grafico che ci si può togliere subito dai pensieri
#3
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D-%E2%88%9A%28x%5E2-9%29
#4
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2-3x%2Fx+%2B2%3E0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%3D2-3x%2Fx+%2B2
e da qui in poi si può pensare alle cose serie.
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RIPASSO
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L'equazione generale di una conica
* Γ ≡ p*x^2 + q*y^2 + r*x*y + a*x + b*y + c = 0
si classifica in base ad alcune condizioni.
1) Se il polinomio a primo membro si scompone in fattori reali, Γ è degenere.
2) Se p*x^2 + q*y^2 + r*x*y = (u*x + v*y)^2, Γ è parabola.
3) Se r = 0, Γ ha assi di simmetria paralleli agli assi coordinati.
4) Se (r, c) sono non zero e (p, q) sono zero, Γ è un'iperbole equilatera traslata con asintoti paralleli agli assi coordinati.
5) Se le condizioni 1 e 2 sono false e la 3 è vera, Γ è una conica a centro non degenere riducibile a una forma normale standard
5a1) ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1 (ellisse)
5a2) ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 0 (ellisse collassata sul centro)
5b) ((x - α)/a)^2 - ((y - β)/b)^2 = ± 1 (iperbole)
dove
* C(α, β) è il centro.
* (a, b) sono i semiassi.
* a = b vuol dire o circonferenza, se ellisse, o iperbole equilatera.
* se il secondo membro di 5b è - 1, l'asse focale è parallelo all'asse y; se è + 1, all'asse x.
I semiassi (a, b) e la semidistanza focale "c" sono i lati di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa per l'ellisse è il semiasse maggiore e per l'iperbole è "c".
L'iperbole 5b ha per asintoti le rette per C con pendenze m = ± (b/a).
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PROBLEMA #1
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Rappresentare l'iperbole
* Γ ≡ x^2/12 - y^2/4 = 1 ≡
≡ ((x - 0)/(2*√3))^2 - ((y - 0)/2)^2 = 1 ≡
≡ (x/(2*√3))^2 - (y/2)^2 = 1
Γ è centrata nell'origine, con
* asse focale x
* semiassi (a, b) = (2*√3, 2)
* asintoti y = ± x/√3
* semidistanza focale c = √(a^2 + b^2) = √((2*√3)^2 + 2^2) = 4
* fuochi F1(- 4, 0), F2(4, 0)
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Retta per F2(4, 0) parallela alla bisettrice dei quadranti dispari
* r ≡ y = x - 4
Intersezioni
* r & Γ ≡ (y = x - 4) & (x^2/12 - y^2/4 = 1) ≡
≡ P(6 - √6, 2 - √6) oppure Q(6 + √6, 2 + √6)
La misura della corda è la distanza "d" fra le intersezioni
* |PQ| = d = 4*√3
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B%28x-4-y%29*x*y%3D0%2Cx%5E2%2F12-y%5E2%2F4%3D1%5Dx%3D-9to9%2Cy%3D-9to9
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PROBLEMA #2
Scrivi l'equazione dell'iperbole, con i fuochi sull'asse x, il cui asse trasverso misura 4, passante per il punto P(4;2)

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Se i fuochi sull'asse x, il centro è C(k, 0) e i fuochi F(k ± c, 0).
Se l'asse trasverso misura 4 allora a = 2 e l'equazione ha la forma
* Γ ≡ ((x - k)/2)^2 - (y/b)^2 = 1
con (b, k) da determinare.
La condizione di passaggio per P(4, 2) impone il vincolo
* ((4 - k)/2)^2 - (2/b)^2 = 1 ≡
≡ (b = 4/√((k - 2)*(k - 6))) & (k non in [2, 6])
da cui
* Γ ≡ ((x - k)/2)^2 - (y/(4/√((k - 2)*(k - 6))))^2 = 1 ≡
≡ 4*x^2 - (k - 2)*(k - 6)*y^2 - 8*k*x + 4*(k^2 - 4) = 0
che, avendo ancora un parametro libero, classifica il problema come indeterminato.
Ad esempio per k = 10 si ha
* Γ ≡ x^2 - 8*y^2 - 20*x + 96 = 0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plane+curve+x%5E2-8*y%5E2-20*x%3D-96