Data l'iperbole di equazione $x y=k, \operatorname{con} k<0$ :
a. stabilisci per quale valore di $k$ l'iperbole stacca sulla retta di equazione $2 x-y-6=0$ una corda che misura $\sqrt{5}$;
Salve, qualcuno può aiutarmi per favore con questo problema? Grazie anticipatamente 🙏🏻
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Livello 1
metto a sistema:
{x·y = k con k < 0
{2·x - y - 6 = 0
risolvo per sostituzione: y = 2·x - 6
x·(2·x - 6) = k----> 2·x^2 - 6·x - k = 0
x = (3 - √(2·k + 9))/2 ∨ x = (√(2·k + 9) + 3)/2
per
x = (3 - √(2·k + 9))/2
y = 2·((3 - √(2·k + 9))/2) - 6
y = - √(2·k + 9) - 3
Quindi:
[(3 - √(2·k + 9))/2, - √(2·k + 9) - 3]
per
x = (√(2·k + 9) + 3)/2
y = 2·((√(2·k + 9) + 3)/2) - 6
y = √(2·k + 9) - 3
Quindi:
[(√(2·k + 9) + 3)/2, √(2·k + 9) - 3]
Δx^2 = ((√(2·k + 9) + 3)/2 - (3 - √(2·k + 9))/2)^2
Δx^2 = 2·k + 9
Δy^2 = (- √(2·k + 9) - 3 - (√(2·k + 9) - 3))^2
Δy^2 = 4·(2·k + 9)
deve essere:
2·k + 9 + 4·(2·k + 9) = 5---> 10·k + 45 = 5
k = -4-----> x·y = -4
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Genius III
Equazione esplicita della retta
y = 2x - 6
Risolvente
x(2x - 6) = k
2x^2 - 6x - k = 0
D = 36 + 8k
sqrt(D)/|A| * sqrt (1 + m^2) = L
sqrt(36 + 8k)/2 * rad(1 + 2^2) = rad(5)
2 sqrt (9 + 2k) = 2
9 + 2k = 1
2k = -8
k = -4
https://www.desmos.com/calculator/gfz3nigsw7
Verifica 2x^2 - 6x + 4 = 0
x^2 - 3x + 2 = 0
x1 = 1 e x2 = 2
y1 = -4 e y2 = -2
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Livello 7
