Problema insiemi

Per il regolamento SOS Matematica è doveroso richiedere un solo quesito per domanda.

Problema:

Considera gli insiemi $A=\{ x \in \mathbb{N} \mid \text{x divisore di 144} \}$ , $B=\{ x \in \mathbb{N} \mid \text{x divisore di 175 } \}$ e $C=\{ x \in \mathbb{N} \mid \text{ x divisore di 221} \}$ . Determina $A \cap B \cap C$.

Che cosa puoi concludere sui tre numeri $144, 175, 221$?

Soluzione:

Per comodità è necessario esplicitare gli insiemi $A,B,C$, per farlo è necessario individuare tutti i divisori dei numeri dati.

Per individuarli puoi scomporre il numero in fattori primi tramite gli algoritmi a te noti e poi combinarli tra loro, oppure procedere per tentativi armandoti di calcolatrice, in quest'ultimo caso devi prendere solo i divisori che danno resto nullo.

Poiché i numeri sono molto grandi, conviene fermarsi alla scomposizione in fattori primi e dedurre da ciò le conseguenze, invece di definire l'estensione dell'insieme.

$144=2^4 \times 3^2$

$175=5^2 \times 7$

$221=13 \times 17$

Si può notare (in realtà andrebbe dimostrato, ma sorvoliamo) che il $221$ non può essere prodotto di numeri primi diversi da $13$ e $17$, quindi $C \cap A=\emptyset$ e $C \cap B= \emptyset$.

Vale quindi $ A\cap B \cap C = A \cap \emptyset$.

Ma l'intersezione di un insieme pieno con un insieme vuoto è vuota, dunque $A \cap B \cap C = \emptyset$.

Si ha che $mcd(144,221)=1=mcd(175, 221)$, quindi queste sono coppie coprime. 

Inoltre anche $mcd(144,175)=1$, quindi anche questi sono coprimi tra loro.