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Problema geometrico 166

  

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L'area di un triangolo equilatero $A B C$ misura $648 k^2 \sqrt{3}$. Indicato con $O$ il centro delle circonferenze inscritta e circoscritta, calcola il rapporto fra l'area della corona circolare compresa tra le due circonferenze e l'area del settore circolare appartenente al cerchio maggiore e avente per angolo al centro l'angolo convesso $\mathrm{BOC}$.

 

Buon pomeriggio; sto cercando di risolvere il problema n. 166 che vado ad allegare, ma la difficoltà maggiore che incontro è quella del calcolo del settore circolare appartenente al cerchio maggiore, in quanto non riesco ad individuare l'ampiezza dell'angolo al centro convesso BOC^. Qualcuno può aiutarmi? Come sempre, gradirei la spiegazione passaggio per passaggio e, se possibile, il disegno della figura geometrica. Ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno rispondermi.

20240120 150902

 

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Triangolo equilatero ABC di lato L > 0
* area S = (√3/4)*L^2 = (648*√3)*k^2 ≡ L = (36*√2)*k
* circumraggio R = L/√3 = (12*√6)*k
* inraggio r = R/2 = (6*√6)*k
* BÔC = 120° = 2*π/3 (un terzo di giro, ABC è equilatero!)
Valori richiesti
* settore di raggio R e ampiezza 2*π/3: areaS = π*R^2/3 = 288*π*k^2
* corona circolare: areaC = π*(R + r)*(R - r) = 648*π*k^2
* rapporto = areaC/areaS = (648*π*k^2)/(288*π*k^2) = 72*9/(72*4) = 9/4
che è proprio il risultato atteso.

 

@exprof 

Ciao grazie per la risposta, soprattutto per avermi indicato l'ampiezza di BOC = 120°. Era abbastanza evidente, ma non ci arrivavo. Auguro a te e famiglia un buon sabato sera

@exprof 👍👍



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Indicato con O il centro delle circonferenze inscritta e circoscritta, calcola il rapporto fra l'area della corona circolare compresa tra le due circonferenze e l'area del settore circolare appartenente al cerchio maggiore e avente per angolo al centro l'angolo convesso BOC

l'area è un dato ridondante e fuorviante : quel che conta sapere è insito nel triangolo rettangolo  COD , vale a dire il rapporto R/r = 2

detto r = 1 il raggio del cerchio inscritto ed R = 2  il raggio del cerchio circoscritto  , abbiamo :

area corona circolare  Acc  = π*(R^2-r^2) = 3 π

area settore circolare Asc = π*R^2/3 = 4π/3 

Acc/Asc = 3 /(4/3) = 9/4 

@remanzini_rinaldo 

Ciao grazie tante per la tua risposta che giunge sempre chiara, semplice da comprendere ed esaustiva. Ti spiego perché sto pubblicando così tanti esercizi: sto finendo TUTTI quelli contemplati nel testo e me ne sono rimasti ancora una decina dove incontro difficoltà. Ecco il motivo. Auguro a te e famiglia un buon sabato sera.



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SOS Matematica

4.6
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