Problema geometria su quadrilatero

Misure in cm, cm^2.
Ammesso che M sia l'incrocio delle diagonali.
Se il lato maggiore L = |AB| = 8 + p (p = |AM| = la sua Proiezione) allora sul triangolo AMB, retto in M, vale la relazione pitagorica fra l'ipotenusa L e le sue proiezioni sulle diagonali
* L^2 = (8 + p)^2 = p^2 + 48^2 ≡ p = 140
Detta q = |MC| la proiezione di BC su AC, e rammentando che l'area del quadrilatero con diagonali perpendicolari è il loro semiprodotto, si ha
* (p + q)*(48 + 48)/2 = (140 + q)*(48 + 48)/2 = 1200 ≡ q = - 115
e qui mi trovo nell'abituale dilemma, a cui sono ormai rassegnato.

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@Beppe
SECONDO TENTATIVO
Raddoppio le ipotesi prive di pezze d'appoggio:
* che M sia l'incrocio delle diagonali;
* che, per un refuso passato indenne, l'area dovesse essere 12000.
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* (p + q)*(48 + 48)/2 = (140 + q)*(48 + 48)/2 = 12000 ≡ q = 110
da cui il perimetro
* 2*(√(48^2 + 140^2) + √(48^2 + 110^2)) = 4*(74 + √3601) ~= 536 cm
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Vedi il grafico e il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%28-140%2C0%29%280%2C-48%29%28110%2C0%29%280%2C48%29

Dato che le diagonali del quadrilatero sono perpendicolari, si tratta di un parallelogramma rettangolo. Inoltre, poiché BM = MD = 48 cm, la diagonale AC ha lunghezza di 48 cm * √2 = 67,2 cm.

Inoltre, sappiamo che l'area del quadrilatero è di 1200 cm^2 e che il lato maggiore (che chiamiamo AB) supera di 8 cm la sua proiezione ortogonale sulla diagonale AC (che chiamiamo x).

Possiamo quindi risolvere il sistema di equazioni: AB * x = 1200 AB = x + 8

Sostituendo la seconda equazione nella prima:

(x + 8) * x = 1200

x^2 + 8x = 1200

x^2 + 8x - 1200 = 0

(x-40)(x+30) = 0

quindi x = 40.

Il perimetro del quadrilatero è dato dalla somma dei suoi quattro lati. Poiché sappiamo che x = 40, possiamo calcolare AB = 48, e quindi BD = AB - x = 48 - 40 = 8. Perimeter = 2 * (AB + BD) = 2 * (48 + 8) = 2 * 56 = 112 cm.

La risposta non coincide con quella data (140) ma con 112 cm, perché i dati dati in descrizione problema non garantiscono la soluzione unica.

@beppe

Ciao Ho fatto un disegno del problema che hai proposto:

Quindi contesto il fatto che il perimetro sia di 140 cm in quanto ognuno dei 4 lati deve essere maggiore di 48 cm (Pitagora insegna che l'ipotenusa è maggiore di ognuno dei due cateti).