Un prisma retto è alto $22,5 \mathrm{~cm}$. La base è un triangolo rettangolo con l'ipotenusa lunga 41 cm e la differenza tra i cateti misura 31 cm . Sapendo che la superficie late rale è di $2025 \mathrm{~cm}^2$, calcolane l'area della superficie totale.
[2 $\left.385 \mathrm{~cm}^2\right]$
Potreste aiutarmi? Grazie🥰
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Livello 0
@giada0315 si può risolvere in due modi : o si usa l'altezza per trovare il perimetro e, poi, la somma basi, oppure si applica Pitagora e, con una equazione di 2° grado , si trova uno dei cateti e, di conseguenza, l'altro !!
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Perimetro di base del prisma $\small 2p= \dfrac{Al}{h} = \dfrac{2025}{22,5} = 90\,cm;$
somma dei cateti del triangolo rettangolo di base $\small C+c= 2p-i = 90-41 = 49\,cm;$
conoscendo anche la differenza tra i cateti, calcola:
cateto maggiore $\small C= \dfrac{49+31}{2} = \dfrac{80}{2} = 40\,cm;$
cateto minore $\small c= \dfrac{49-31}{2} = \dfrac{18}{2} = 9\,cm;$
quindi:
area di base del prisma $\small Ab= \dfrac{C×c}{2} = \dfrac{\cancel{40}^{20}×9}{\cancel2_1} = 20×9 = 180\,cm^2;$
area totale $\small At= Al+2Ab = 2025+2×180 = 2025+360 = 2385\,cm^2.$
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Genius I
@gramor 👍👌👍
h = 22,5 cm;
ipotenusa BC = 41 cm;
Perimetro = Area laterale / h = 2025 / 22,5 = 90 cm;
AB - AC = 31; differenza dei cateti;
AB = 31 + AC;
AC + AB + 41 = 90;
AC + (31 + AC) + 41 = 90;
2 AC = 90 - 31 - 41;
AC = 18 / 2 = 9 cm; cateto minore;
AB = 31 + 9 = 40 cm; cateto maggiore;
Area di base = 40 * 9 / 2 = 180 cm^2;
Area totale = 2025 + 2 * 180 = 2385 cm^2.
Ciao @giada0315
Con Pitagora ed equazione di 2° grado:
AB^2 + AC^2 = 41^2;
(31 + AC)^2 + AC^2 = 41^2;
961 + AC^2 + 62 AC + AC^2 = 1681;
AC = cateto minore = x;
x^2 + 62 x + x^2 + 961 - 1681 = 0;
2x^2 + 62x - 720 = 0;
x^2 + 31x - 360 = 0 ;
x = [- 31 +- radice(31^2 + 4 * 360) ] / 2;
x = [ - 31 +- radice(2401)] / 2;
x = [- 31 +- 49] / 2; prendiamo la soluzione positiva;
x = [- 31 + 49] / 2;
x = 18 / 2 = 9 cm; (cateto minore AC);
AB = 9 + 31 = 40 cm; (cateto maggiore AB);
Area di base = 40 * 9 / 2 = 180 cm^2;
Area totale = 2025 + 2 * 180 = 2385 cm^2.
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Genius II
@mg 👍🌷👌👍
x=cateto di base minore
x+31= cateto di base maggiore
X^2+(x+31)^2=41^2
2x^2+62x-720=0
x^2+31x-360=0
x=9 cm v x=-40
Scarto la negativa
A base=1/2*9*40=180 cm^2
Atot=180*2+2025=2385 cm ^2
H=22.5 cm è dato superfluo
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Genius III
@lucianop 👍👌👍
area laterale Al/altezza h = perimetro 2p
perimetro 2p = 2.025/22,5 = 90 cm
somma cateti C+c = 2p-i = 90-41 = 49 cm
differenza cateti C-c = 31 cm
sommando membro a membro :
2C = 49+31
cateto maggiore C = 80/2 = 40 cm
cateto minore c = 40-31 = 9 cm
At = Al +C*c = 2.025+40*9 = 2.385 cm^2
oppure usando una equazione di 2° grado senza far uso dell'altezza :
C-c = 31 cm
C^2+c^2 = 41^2
(31+c)^2+c^2 = 1681 cm^2
961+c^2+62c +c^2 = 1681
720-62c-2c^2 = 0
360-31c-c^2 = 0
c = (31-√31^2+1440)/-2 = 9,00 cm
C = 31+9 = 40 cm
At = Al +C*c = 2.025+40*9 = 2.385 cm^2
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Genius III
👍 👍 👍
