Le circonferenze concentriche in figura hanno raggi $O A=1,5 \mathrm{~cm}$ e $O C=5 \mathrm{~cm}$. La corda $C D$ dista $3,5 \mathrm{~cm}$ dal centro $O$. Quanto misura la corda $A B$ ?
Le circonferenze concentriche in figura hanno raggi $O A=1,5 \mathrm{~cm}$ e $O C=5 \mathrm{~cm}$. La corda $C D$ dista $3,5 \mathrm{~cm}$ dal centro $O$. Quanto misura la corda $A B$ ?
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Livello 0
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Rapporto lineare $k= \dfrac{1,5}{5} = \dfrac{3}{10}$;
distanza della corda AB dal centro $= 3,5×\dfrac{3}{10} = 1,05~cm$;
corda $AB= 2×\sqrt{1,5^2-1,05^2} = 2×1,071 = 2,142~cm$.
68278
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Genius I
I triangoli isosceli OCD e OAB sono simili con i lati obliqui che valgono:
OC=5 cm OA=1.5 cm
la base CD=2·√(5^2 - 3.5^2) = √51
la base AB sarà quindi data da:
AB =1.5/5·√51 = 3·√51/10 = 2.14 cm circa
115486
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Genius III
Il richiesto procedimento risolutivo richiede di riconoscere e saper applicare due nozioni pregresse: la proporzionalità fra misure omologhe di figure simili e la relazione pitagorica nei triangoli rettangoli.
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Dai triangoli simili OAB e OCD si ricava l'espressione dell'incognita "misura della corda AB"
* |AB|/|CD| = |OA|/|OC| = 1.5/5 = 3/10 ≡
≡ |AB| = (3/10)*|CD|
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Dal fatto che il raggio sia ipotenusa dei cateti semicorda e distanza d dal centro, cioè che
* |OC|^2 = d^2 + (|CD|/2)^2 ≡ 5^2 = (7/2)^2 + (|CD|/2)^2
si ricavano
* |CD| = √51
* |AB| = (3/10)*√51 ~= 707/330 ~= 2.14242 cm
57798
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Genius I