[Risolto] Problema geometria

Guarda la figura.

troviamo il diametro AB:

TO^2 + PT^2 = OP^2;

(d/2)^2 + (2/3 d)^2 = 25^2;

9d^2 + 16d^2 = 25^2 * 36;

25 d^2 = 36 * 25^2;

d^2 = 25 * 36;

d = radice quadrata(25 * 36) = 5 * 6 = 30 cm;

raggio TO = OB = 30/2 = 15 cm; cateto del triangolo TOP;

PT = 2/3 * 30 = 20 cm; altro cateto del triangolo TOP;

Area del triangolo rettangolo TOP:

A1 = 15 * 20 / 2 = 150 cm^2;

OP = 25 cm = ipotenusa del triangolo TOP

TH = altezza relativa all'ipotenusa OP:

TH = A1 * 2 / ipotenusa = 150 * 2 / 25 = 12 cm; altezza;

Area del triangolo TOB che ha per base OB = raggio = 15 cm,  per altezza TH = 12 cm;

A2 = 15 *12 / 2 = 90 cm^2;

Area del triangolo TBP = Area(TOP) - Area (TOB) = A1 - A2;

Area triangolo TBP = 150 - 90 = 60 cm^2. 

Manca il lato BT del triangolo TBP.

Troviamo OH nel triangolino (TOH) con Pitagora: OH^2 = TO^2 - TH^2;

OH = radicequadrata(15^2 - 12^2) = radice(81)

OH = 9 cm;

BH = 15 - 9 = 6 cm;

BT = radicequadrata(TH^2 + BH^2) = radice(12^2 + 6^2) = radice(180)

BT = radice(36 * 5) = 6 * radice(5) = 13,42 cm;

Perimetro (TBP) = 10 + 20 + 6 * radice(5) = 30 + 2 * radice(5) cm.

Perimetro = 30 + 13,42 = 43,42 cm.

Ciao @beppe

* |OA| = |OB| = |OT| = r
* |AB| = 2*r
* |OP| = 25
* |BP| = 25 - r
* |PT| = 2*|AB|/3 = 4*r/3
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Il triangolo OPT, rettangolo in T, ha
* cateti: |OT| = r, |PT| = 4*r/3
* ipotenusa: |OP| = √(|OT|^2 + |PT|^2) =
= √(r^2 + (4*r/3)^2) = 5*r/3 = 25 ≡
≡ r = 15
da cui
* cateti: |OT| = 15, |PT| = 20
* ipotenusa: |OP| = 25
cioè OPT ha lati
* (a, b, c) = (15, 20, 25) = 5*(3, 4, 5)
quintupli della minima terna pitagorica; quindi
* θ = BOT = arctg(|PT|/|OT|) = arctg(4/3) ~= 53°
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ALTERNATIVA #1
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Il triangolo BOT, isoscele sulla base BT, ha lati di gamba r = 15, angolo al vertice θ e
* |BT| = √(r^2 + r^2 - 2*r*r*cos(θ)) = 2*r*|sin(θ/2)| =
= 2*15*|sin(arctg(4/3)/2)| =
= 30*|1/√5| =
= 30/√5
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Il triangolo TPB, quello richiesto, ha lati
* |BP| = 25 - r = 10
* |BT| = 30/√5
* |PT| = 20
quindi
* perimetro p = 10 + 30/√5 + 20 = 6*(5 + √5) ~= 43.4
* area S (con Erone, risparmiami la dattilografia) = 60
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle+edge+lengths+10%2C20%2C30%2F%E2%88%9A5
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ALTERNATIVA #2
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* Γ ≡ (x^2 + y^2 = 15^2) & (y >= 0)
* B(15, 0)
* P(25, 0)
* p ≡ x*25 + y*0 - 15^2 = 0 ≡ x = 9
* p & Γ ≡ (x = 9) & (x^2 + y^2 = 15^2) & (y >= 0) ≡ T(9, 12)
* |BT| = |T - B| = |(9, 12) - (15, 0)| = |(- 6, 12)| =
= √((- 6)^2 + 12^2) = 6*√5 = 30/√5
poi come sopra.
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CONCLUSIONE
La geometria analitica è più spicciativa della trigonometria!

Fai riferimento alla figura: la semicirconferenza ha centro in [0, 0] e raggio r.

Il punto P ha coordinate: [25, 0]. OTP è un triangolo rettangolo retto in T.

PT, un suo cateto vale:

ΡΤ = 2/3·(2·r) = 4·r/3

Calcolo quindi r essendo noto OP=25 

25 = √(r^2 + (4/3·r)^2)-----> 25 = 5·r/3----> r = 15

Determino quindi le coordinate del punto di tangenza T

{y = √(15^2 - x^2) (la semicirconferenza)

{y = m·(x - 25) (retta generica passante per P)

Risolvo per sostituzione:

√(225 - x^2) = m·(x - 25)

elevo al quadrato:

225 - x^2 = m^2·(x - 25)^2

Sviluppo ed ordino, ottenendo:

x^2·(m^2 + 1) - 50·m^2·x + (625·m^2 - 225) = 0

applico le condizioni di tangenza:

Δ/4 = 0

ed ottengo:

(- 25·m^2)^2 - (m^2 + 1)·(625·m^2 - 225) = 0

225 - 400·m^2 = 0-----> m = - 3/4 ∨ m = 3/4

scarto la positiva

√(225 - x^2) = (- 3/4)·(x - 25)

risolvo: x = 9

quindi: y = √(225 - 81)----> y = 12

T(9,12)

Area=1/2·(25 - 15)·12 = 60

Il perimetro poi lo sai calcolare?