[Risolto] Problema geometria

Con le solite convenzioni:

c = ΑΒ = 10 cm

a = BC = da determinare

b = AC = da determinare

Utilizziamo il teorema dei seni.

Calcolo di SIN(α) ; SIN(β); SIN(γ)

TAN(α) = 2

posto:

COS(α) = Χ e  SIN(α) = Υ

2 = Υ/Χ = Υ/√(1 - Υ^2)

Υ^2/(1 - Υ^2) = 4

Risolvo ed ottengo: Υ = - 2·√5/5 ∨ Υ = 2·√5/5

Υ = 2·√5/5 = SIN(α)

Analogamente: 

TAN(β) = 3

Υ^2/(1 - Υ^2) = 9

risolvo ed ottengo: Υ = - 3·√10/10 ∨ Υ = 3·√10/10

Υ = 3·√10/10 = SIN(β)

Quindi il seno dell'altro angolo rimasto:

SIN(γ) = SIN(pi - (α + β)) = SIN(α + β)

SIN(α + β) = SIN(α)·COS(β) + SIN(β)·COS(α)

Quindi determiniamo:

COS(β) = √(1 - (3·√10/10)^2) = √10/10

COS(α) = √(1 - (2·√5/5)^2) = √5/5

SIN(γ) = 2·√5/5·√10/10 + 3·√10/10·√5/5

SIN(γ) = √2/2

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Lati incogniti a e b

a/SIN(α) = c/SIN(γ)

a = c·SIN(α)/SIN(γ)

a = 10·2·√5/5/(√2/2)---> a = 4·√10 cm

b/SIN(β) = c/SIN(γ)

b = c·SIN(β)/SIN(γ)

b = 10·(3·√10/10)/(√2/2)----> b = 6·√5 cm

Diciamo x e y le proiezioni degli altri due lati su quello assegnato

Allora x + y = L

inoltre da

L1 sin a = h

L1 cos a = x

si ha dividendo

tg a = h/x

h = x tg a

e

L2 sin b = h

L2 cos b = y

ancora dividendo

tg b = h/y

h = y tg b

Così x tg a = y tg b

y = x tg a/tg b = 2/3 x

Sostituendo

x + 2/3 x = 10

5/3 x = 10

x = 3/5 * 10 = 6 e y = 10 - 6 = 4

risulta pertanto

h = x tg a = 12

e quindi l'area é S = 10*12/2 cm^2 = 60 cm^2

Perimetro :

L1 = h/sin a

L2 = h/sin b

P = L + h rad(1 + tg^2(a))/tg a + h rad(1 + tg^2(b))/tg b =

= 10 + 12 * (rad(5)/2 + rad(10)/3) cm =

= (10 + 6 rad(5) + 4 rad(10) ) cm =

= 2( 5 + 3 rad(5) + 2 rad(10)) cm