[Risolto] Problema funzioni continue dervabili

y =

{b·e^(a·x) + a   per x ≤ 0

{2·b + ATAN(a·x)   per x > 0

La funzione definita a tratti ha componenti continue assieme alla loro derivata prima nei tratti di loro competenza. Bisogna quindi che tale risulti anche per x =0.

y = b·e^(a·0) + a----> y = a + b

LIM(2·b + ATAN(a·x)) = 2·b

x---> 0+

quindi deve risultare:

a + b = 2·b

inoltre tale continuità si deve manifestare anche per y' in x=0

y' =

{a·b·e^(a·x)  per x ≤ 0

{a/(a^2·x^2 + 1)    per x > 0

a·b·e^(a·0) = a·b

LIM(a/(a^2·x^2 + 1)) = a

x---> 0+

Quindi:

{a + b = 2·b

{a·b = a

Quindi soluzione:

[a = 0 ∧ b = 0, a = 1 ∧ b = 1]

La prima si scarta

y =

{e^x + 1  per x ≤ 0

{ATAN(x) + 2   per x > 0

------------------------------

y'= e^x

per x=0: y' = m = e^0 =1

retta tangente in [0,2]

y - 2 = 1·(x - 0)----> y = x + 2

NO ultima risposta:

y''=

{e^x  per x ≤ 0

{- 2·x/(x^2 + 1)^2    per x > 0

y''=e^0 = 1 per x=0

LIM(- 2·x/(x^2 + 1)^2) = 0

x---> 0+

Quindi non vale il discorso per la derivata seconda.