[Risolto] Problema fisica

Un punto materiale di massa 𝑚 = 500 g è collegato tramite un filo inestensibile di
massa trascurabile ad una carrucola costituita da un disco omogeneo di massa 𝑚p = 2
kg e raggio 𝑅 = 20 cm vincolato nel suo centro. Si lascia libero il corpo di muoversi
partendo da fermo e di conseguenza il filo si svolge e la carrucola si mette in rotazione.
Sapendo che sull’asse di rotazione agisce un momento Matt di attrito costante di modulo
0,8 Nm, determina:
• l’accelerazione angolare α del disco;
• il tempo t necessario affinché si svolga un tratto d = 12 m di filo;
• la velocità del punto materiale in questo istante.
[3 rad/s^2; 6,3 s; 3,8 m/s]

la massa traslante m, al solo fine inerziale,  può essere ricondotta alla massa rotante mp come massa equivalente me = 2m , pertanto :

J = (mp+me)/2*R^2 = 3/2*2^2/10^2 = 0,060 kg*m^2

momento motore Mm = m*g*R = 0,50*9,803*0,2 = 0,9803 N*m

momento resistente Matt = 0,8 N*m

accelerazione angolare α = (Mm-Matt)/J = 0,1803/0,060 = 3,01  rad/sec^2 

accelerazione a = α*r = 3,01*0,20 = 0,602 m/sec^2

12 = a/2*t^2

tempo t = √24/0,602 = 6,31 sec 

velocità V = a*t = 0,602*6,31 = 3,80 m/sec

tensione T = m(g-a) = 0,50*(9,803-0,602) = 4,60 N 

{T*R - M_att = I*alfa

{P - T = m*a

Moltiplicando la seconda equazione per R e sommando membro a membro otteniamo il valore dell'accelerazione angolare. 

Dalla definizione di radiante 

teta = L/R

si ricava l'angolo spazzato dal raggio della carrucola per svolgere il filo di 12 m

Dalla legge oraria del moto con velocità angolare iniziale nulla si ricava il tempo necessario 

teta = (1/2)*alfa*t²

Dalla legge oraria della velocità si ricava:

v= w*R 

Sostituendo i valori numerici otteniamo: