PROBLEMA "ESPONENZIALI".

Question

Risolvi il seguente problema:Pur dipendendo dallo stato di salute generale, possiamo ipotizzare che negli adulti l'emivita della caffeina, ovvero il tempo necessario per eliminare il $50 %$ della sostanza, sia di circa 4 ore. Sapendo che una tazzina di caffè contiene circa 80 mg di caffeina.a) Determina la funzione che descrive la quantità di caffeina presente nel corpo di un adulto in funzione del tempo dal momento dell'assunzione;b) Determina dopo quante ore la caffeina residua nell'organismo sarà pari a 20 mg ;c) Da un punto di vista matematico, è possibile stabilire dopo quanto tempo l'organismo avrà smaltito completamente la caffeina? Giustifica la risposta. [attach]95532[/attach]

mg · Accepted Answer

Quantità di caffeina Q; Quantità iniziale Qo = 80 mg;

Q = Qo * e^(- t /k); legge del decadimento

tempo di dimezzamento = 4 h; possiamo trovare k

Q/2 = Qo * e^ (- 4/k);

1/2 = e^(- 4/k);

ln(1/2) = - 4/k;

ln(1/2) = - ln(2) ;

ln(2) = 4/k

k = 4 / ln(2);

k = 4 / 0,693 = 5,77;

Q = 80 * e^(- t/5,77); (t in ore);

Q diventerà 0 quando t tende all'infinito.

Q = 20 mg; troviamo t:

20 = 80 * e^(- t/5,77);

20/80 = e^(- t/5,77);

1/4 = e^(- t/5,77);

ln(1/4) = - t / 5,77;

ln(1/4) = - ln(4)

t /5,77 = ln(4);

t = 1,386 * 5,77 = 8 h.

Ciao @alby

mg

(@mg)

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14/11/2024 12:02

EidosM · Answer

a) come sempre il modello è y = A b^t

con 80 = A b^0 e 40 = A b^4

per cui A = 80 e b^4 = 40/80 = 1/2

b = (1/2)^(1/4)

y = 80*(1/2)^(t/4).

b) 80*(1/2)^(T/4) = 20

(1/2)^(T/4) = 1/4 = (1/2)^2

T/4 = 2

T = 8 h

c) matematicamente il tempo richiesto sarebbe "infinito"

perché 80*(1/2)^(t/4) = 0 non ha soluzioni.

Tuttavia praticamente si prende come tempo di estinzione quello per cui y scende all'1% del valore

iniziale

Tf = 4*log_2(100) h = 26.58 h nel nostro caso.

EidosM

(@eidosm)

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14/11/2024 06:07

[Risolto] PROBLEMA "ESPONENZIALI".

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