[Risolto] problema di matematica: equazione della retta

Per determinare le equazioni di due o più rette passanti per i lati di un triangolo possiamo procedere in vari modi. Innanzitutto, dobbiamo considerare l'equazione della retta $r$ passante per due punti qualsiasi $AB$ e capire come da essi arrivare rappresentarne infiniti che giacciono sulla stessa traiettoria. Cominciamo a vedere il seguente grafico :

Dal grafico possiamo notare che è stato fissato un sistema di riferimento $R$ $=$ $\bigl($ $O$, $B$  $\bigr)$, dove $O$ è la nostra origine e $B$ è la nostra base ortonormale di vettori che comunemente chiamiamo $\bigl($ $e1$, $e2$ $\bigr)$. Inoltre il punto $P$, seguendo la regola del parallelogramma, è ottenuto dalla somma dei vettori spostamento. Ma ciò significa che per arrivare al punto $P$ i vettori hanno effettuato uno spostamento totale di $x_{P}$ $+$ $y_{P}$. Dunque le componenti del nostro vettore spostamento sono le coordinate cartesiane di $P$. In formule abbiamo :

$P$ $=$ $O$ $+$ $x_{P}$ $+$ $y_{P}$ $\iff$ $O$ $+$ $O$$x_{P}$ $+$ $O$$y_{P}$ $\iff$  $\overrightarrow{OP}$ $=$ $x$$e1$ $+$ $y$$e2$

Quelle che chiamiamo $coordinate$ $cartesiane$ del punto $P$ sono in realtà le componenti $x$ e $y$ del vettore libero $\overrightarrow{OP}$.

Vediamo ora di ricavare le componenti di un qualsiasi vettore partendo da due punti. Consideriamo la seguente figura : 

In questo caso per ricavare le componenti del nostro vettore spostamento, dobbiamo effettuare una differenza di coordinate. Dunque chiamiamo il nostro vettore libero $u$  $=$ $\overrightarrow{P1P2}$ e procediamo :

\begin{cases}
u_{x} = x_{2} - x_{1} \\
u_{y} = y_{2} - y_{1}
\end{cases}

Dunque queste saranno le componenti del nostro vettore spostamento.     

Ora come nell'esempio cerchiamo di ricavare le componenti del vettore $\overrightarrow{AB}$ che chiamiamo ancora $u$. Nel nostro caso l'origine del vettore libero $u$ non è più $O$ ma bensì il punto $A$. Inoltre tutti i vettori che si originano partendo dalle componenti $u_{x}$ e $u_{y}$ sono del tipo $w$ $=$ $u$ $\cdot$ $t$ con $t$ parametro reale. Quindi in sostanza sono tutti i vettori multipli di $u$.                              

Da queste considerazioni ricavare l'equazione della retta risulta essere semplice e diretto, vediamo come fare :

Vogliamo trovare l'equazione della retta passante per i punti $A$ e $B$. Per prima cosa ricaviamo le componenti del nostro vettore libero e supponiamo che l'origine sia fissata nel punto $A$$\bigl($ $3$, $0$ $\bigr)$.Dunque :

\begin{cases}
AB_{x} = 4 - 3 \\
AB_{y} = -3 - 0
\end{cases}\begin{cases}
AB_{x} = 1 \\
AB_{y} = -3 
\end{cases}

Quindi possiamo concludere che le componenti del nostro vettore sono $AB$$\bigl($ $1$, $-$$3$ $\bigl)$. Ora che abbiamo ottenuto le componenti sappiamo che i vettori "$multipli$" si originano facendo variare un parametro reale sull'asse delle ascisse e ordinate. Dunque avremo :

\begin{cases}
x = u_{x}t + 3 \\
y = u_{y}t + 0 
\end{cases}\begin{cases}
x = 1t + 3 \\
y = -3t + 0 
\end{cases}\begin{cases}
x - 3 = t  \\
-\Large \frac{y}{3} = t 
\end{cases}  

$t$ $=$ $t$ $\iff$ $x$ $-$ $3$ $=$ $-$$\Large \frac{y}{3}$ $\iff$ $-3x$ $+$ $9$ $=$ $y$.

In conclusione la retta passante per i punti $AB$ è $y$ $=$ $-3x$ $+$ $9$.

Analoga situazione quando si considerano gli altri punti : $BC$, $AC$. In conclusione avremo :

per i punti $BC$ risulta essere $y$ $=$ $-x$ $+$ $1$ 

per i punti $AC$ risulta essere $y$ $=$ $-$ $\Large \frac{x}{2} $ $+$ $\Large \frac{3}{2}$

Ciao,

Ricordando la formula per trovare la retta passante per 2 punti:

$\frac{y-y_{a}}{y_{b}-y_{a}}=\frac{x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}$

Dato che i punti sono

$A(3;0)$ $B(4;-3)$ $C(-1;2)$

Retta passante per A e B:

$\frac{y-0}{-3-0}=\frac{x-3}{4-3}$

$y=-3x+9$

Retta passante per A e C:

$\frac{y-0}{2-0}=\frac{x-3}{-1-3}$

$y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$

Retta passante per B e C:

$\frac{y+3}{2+3}=\frac{x-4}{-1-4}$

$y=-x+1$

retta AB = 

coeff. angolare m = (yb-ya)/(xb-xa) = (-3-0)/(4-3) = -3

in A , y = 0 ed x = 3 , da cui 3x = q

ordinata all'origine q = 3*3 = 9

equazione della retta : y = -3x+9

retta AC = 

coeff. angolare m = (yc-ya)/(xc-xa) = (2-0)/(-1-3) = -1/2

in A , y = 0 ed x = 3 , da cui x/2 = q

ordinata all'origine q = 3*1/2 = 3/2

equazione della retta : y = -x/2+3/2 → 2y = -x+3

retta BC = 

coeff. angolare m = (yc-yb)/(xc-xb) = (2-(-3))/(-1-4) = -1

in C , y = 2 ed x = -1 , da cui 2 = (-1)*(-1)+q

2-1 = q

ordinata all'origine q = 1

equazione della retta : y = -x+1

AB = √3^2+1 = √10

AC = 2√2^1+1 = 2√5

BC = 5√2

altezza AH = √2

area = BC*AH/2 = 5*2/2 = 5,00