[Risolto] problema di matematica

Sia $r$ il raggio della circonferenza e sia $d$ la distanza tra il centro $O$ e la corda $AB$.

Poiché la corda è più lunga della sua distanza dal centro, possiamo scrivere:

$$AB = \frac{3}{2}d$$

Sappiamo che il perimetro del triangolo $AOB$ è di 32 cm, quindi possiamo scrivere:

$$AB + AO + OB = 32$$

Ma $AO = OB = r$, quindi possiamo riscrivere la formula come:

$$\frac{3}{2}d + 2r = 32$$

Dobbiamo trovare $r$, quindi dobbiamo eliminare $d$ dalle equazioni.

Consideriamo il triangolo rettangolo $AOC$ dove $C$ è il punto di intersezione tra la corda $AB$ e la perpendicolare al diametro passante per $A$.

Per il teorema di Pitagora, sappiamo che:

$$AC^2 + OC^2 = r^2$$

Ma $AC = \frac{1}{2}d$ e $OC = \frac{1}{2}AB = \frac{3}{4}d$, quindi possiamo riscrivere la formula come:

$$\left(\frac{1}{2}d\right)^2 + \left(\frac{3}{4}d\right)^2 = r^2$$

Semplificando e risolvendo per $d$, otteniamo:

$$d = \frac{4}{5}\sqrt{r^2 - \frac{9}{4}d^2}$$

Sostituendo questa formula nella prima equazione, otteniamo:

$$\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{5}\sqrt{r^2 - \frac{9}{4}d^2} + 2r = 32$$

Semplificando, otteniamo:

$$\sqrt{r^2 - \frac{9}{4}d^2} = \frac{40}{9} - \frac{4}{5}r$$

Squadrando entrambi i membri, otteniamo:

$$r^2 - \frac{9}{4}d^2 = \left(\frac{40}{9} - \frac{4}{5}r\right)^2$$

Sviluppando i calcoli, otteniamo:

$$\frac{161}{25}r^2 - \frac{256}{9}r + \frac{1600}{81} = 0$$

Risolvendo questa equazione di secondo grado, otteniamo:

$$r = \frac{16}{25}\left(9 \pm \sqrt{321}\right)$$

Poiché il raggio deve essere positivo, la soluzione corretta è:

$$r = \frac{16}{25}\left(9 + \sqrt{321}\right) \approx 9,96 \text{ cm}$$

Quindi il raggio della circonferenza è di circa 10 cm.

In qualsiasi circonferenza di centro O e raggio r, per qualsiasi corda AB di lunghezza c che sia a distanza d dal centro, vale la relazione pitagorica
* r^2 = (c/2)^2 + d^2
e il perimetro p del triangolo AOB è
* p = c + 2*r
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Con i dati
* c = (3/2)*d
* p = 32 cm
si ha
* d = (2/3)*c
* 32 = c + 2*r ≡ c = 32 - 2*r
* r^2 = (c/2)^2 + ((2/3)*c)^2 = ((5/6)*c)^2 ≡
≡ r = (5/6)*c = (5/6)*(32 - 2*r) ≡
≡ r = 10 cm