Problema di matematica

x N° partecipanti iniziali

x + 6 N° partecipanti poi

280/(x + 6) = 280/x - 6 (quota spettante ad ogni partecipante nel secondo momento)

risolvi ed ottieni: x = -20 ∨ x = 14

scarti la prima

Una compagnia di amici ha comprato a Luca, per la sua laurea, un regalo da 280 euro. All'ultimo momento 6 amici si aggiungono per il regalo e di conseguenza la quota pagata da ciascun amico si riduce a 6 euro rispetto a quanto previsto all'inizio. Quanti erano in origine i ragazzi della compagnia? RISULTATO: 14.

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N° ragazzi in origine $=x$;

equazione:

$\frac{280}{x} -\frac{280}{x+6} = 6$  mcm$=x(x+6)$, quindi:

$280(x+6) -280x = 6x(x+6)$

$280x+1680-280x = 6x^2 +36x$

$1680 = 6x^2 +36x$

$-6x^2-36x = -1680$ dividi ambo le parti per $-6$:

$x^2 +6x = 280$ eguaglia a zero:

$x^2 +36x -280 = 0$

equazione di secondo grado completa quindi risolvi con i seguenti dati:

$a=1$;

$b=6$;

$c=-280$;

$∆= b^2-4ac = 6^2-(4×1×-280) = 36-(-1120) = 36+1120 = 1156$

applica la formula risolutiva:

$x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{∆}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{1156}}{2×1}=\frac{-6±34}{2}$

risultati:

$x_1= \frac{-6-34}{2}=\frac{-40}{2}=-20 $ che escludiamo perché negativo;

$x_2= \frac{-6+34}{2}=\frac{28}{2}=14 $

quindi i ragazzi in origine erano $14$.

Quello che ognuno avrebbe pagato naturalmente é 280/n

quello che paga effettivamente é 280/(n + 6)

Allora 280/n - 280/(n + 6) = 6

280(n + 6) - 280 n = 6n (n + 6)

280 n + 6*280 - 280 n = 6n^2 + 36 n

280 = n^2 + 6n

n^2 + 6n - 280 = 0

n = -3 + rad(9 + 280) = -3 + 17 = 14

e la radice negativa viene scartata

Verifica

280/14 = 20 ; 280/(14 + 6) = 14

e 20 - 14 = 6