Scrivi l'equazione della parabola che passa per i punti di intersezione delle parabole $\gamma_1: y=x^2-3 x+1$ e $\gamma_2: y=-2 x^2-2 x+4$ e per l'origine degli assi.
(Suggerimento: la parabola cercata appartiene al fascio di parabole di generatrici $\gamma_1$ e $\gamma_2$, non è necessario determinare i punti di intersezione delle due parabole.)
$$
\left[y=2 x^2-\frac{10}{3} x\right]
$$
Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano con questo esercizio di matematica per favore? Grazie mille
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Livello 0
Sfruttiamo il suggerimento ed evitiamo di cercare i punti base del fascio che in questo caso si scrive:
2·x^2 + 2·x + y - 4 + k·(x^2 - 3·x - y + 1) = 0
(combinazione lineare delle due parabole date: 2·x^2 + 2·x + y - 4 = 0 e x^2 - 3·x + 1 - y = 0)
Facciamo passare il fascio per l'origine: [0, 0]
2·0^2 + 2·0 + 0 - 4 + k·(0^2 - 3·0 - 0 + 1) = 0
k - 4 = 0----> k = 4
2·x^2 + 2·x + y - 4 + 4·(x^2 - 3·x - y + 1) = 0
6·x^2 - 10·x - 3·y = 0
y = 2·x^2 - 10·x/3
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Genius III
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Livello 2
L'esercizio 312 mi lascia perplesso, ma la perplessità svanirebbe se le parabole date s'intersecassero in quattro punti reali; se non è così te la racconto dopo.
Ma, per saperlo, occorre calcolare le intersezioni: in entrambi i casi la frase "non è necessario ..." risulta una stupidaggine.
Poiché sia γ1 che γ2 hanno asse di simmetria parallelo all'asse y, e poiché hanno aperture discordi esse non possono avere più di due intersezioni reali.
La mia perplessità riguarda la contraddizione fra il Suggerimento (la parentesi con la frase stupida) che afferma l'appartenenza della parabola richiesta al fascio di γ1 e γ2 il quale è composto di sole parabole con asse di simmetria parallelo all'asse y, e il testo della consegna che non specifica affatto tale condizione restrittiva e si limita a chiedere una parabola per tre punti senza chiederne una con l'asse parallelo all'asse y.
Senza specificare la direzione dell'asse, di punti ne servono cinque.
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* γ1 ≡ y = x^2 - 3*x + 1
* γ2 ≡ y = - 2*x^2 - 2*x + 4
* γ1 & γ2 ≡ (y = x^2 - 3*x + 1) & (y = - 2*x^2 - 2*x + 4) ≡
≡ A((1 - √37)/6, (14 + 4*√37)/9) oppure B((1 + √37)/6, (14 - 4*√37)/9)
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Per i punti
≡ O(0, 0), A((1 - √37)/6, (14 + 4*√37)/9), B((1 + √37)/6, (14 - 4*√37)/9)
passa una duplice infinità di parabole, fra le quali
* y = 2*x^2 - 10*x/3 (asse verticale)
* x = 3*(9*y^2 - 50*y)/176 (asse orizzontale)
* (x + y)^2 = (706*x + 471*y)/54 (asse a 45°)
* (x - y)^2 = (706*x + 471*y)/54 (asse a 45°)
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2*x%5E2-10*x%2F3%2Cx%3D3*%289*y%5E2-50*y%29%2F176%2C%28x-y%29%5E2%3D%28706*x--471*y%29%2F54%5D
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Genius I
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Livello 8
