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[Risolto] problema di matematica

  

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Data la funzione
$$
f(x)=\frac{a x-2}{x-2 a}
$$
a. determina per quali valori di $a$ esiste almeno una $x$ tale che $f(x)=a$;
b. verifica che, al variare di $a, f(x)$ non è mai suriettiva;
c. calcola per quali valori di $a$ la funzione $f(x)$ è invertibile;
d. determina, relativamente ai valori di a trovati nel punto c, l'equazione della funzione $g(x)$ la cui inversa è proprio la funzione $f(x)$.
$$
\text { a) } \left.a=-1, a=1 ; \text { c) } a \neq \pm 1 \text {; d) } y=\frac{2(a x-1)}{x-a}\right]
$$

IMG 20231205 212608

 non riesco a capire il terzo punto

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1 Risposta



2

L'ho risolto in questo modo: funzione razionale fratta (omografica).

Calcolo fog, essendo f la funzione data e g la sua inversa. Per essere invertibile deve risultare:

fog(x)=x

Quindi:

y = (a·x - 2)/(x - 2·a) = f

Quindi opero le sostituzioni:

x---> y

y--->x

x = (a·y - 2)/(y - 2·a)---> y = 2·(a·x - 1)/(x - a) = g

Quindi :

fog=(a·(2·(a·x - 1)/(x - a)) - 2)/(2·(a·x - 1)/(x - a) - 2·a)

fog=2·x·(a^2 - 1)/(x - a)/(2·(a^2 - 1)/(x - a))

Espressione semplificabile se e solo se:

a^2 - 1 ≠ 0----->a ≠ -1 ∧ a ≠ 1

in tal caso:

2·x·(a^2 - 1)/(x - a)/(2·(a^2 - 1)/(x - a)) = x



Risposta
SOS Matematica

4.6
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