Problema di mate

E' fin troppo facile dire "senza le derivate é una marea di calcoli"
ma é vero. Quindi scrivo solo la linea argomentativa.

a) Riscritta l'ellisse come x^2 + 4y^2 = 8

risolvi prima l'equazione

x^2 + 4 [(2x+5)/(x+1)]^2 - 8 = 0

e trovato x lo sostituisci nell'equazione dell'iperbole.

Così ottieni A.

b) Poi intersechi y - yA = m (x - xA)

prima con l'ellisse e poi con l'iperbole.

Imponendo De = 0 trovi me

Imponendo Di = 0 trovi mi

c) Infine tg alfa = (me - mi)/(1 + me mi)

se viene ottuso passi al supplementare

Ellisse α ≡ x^2/8 + y^2/2 = 1
Iperbole β ≡ y = - (2*x + 5)/(x + 1)
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Il loro sistema ha risolvente
* x^2/8 + (- (2*x + 5)/(x + 1))^2/2 - 1 = 0 ≡
≡ (x + 2)*(x^3 + 9 x + 46) = 0
con uno zero in x = - 2 cui corrisponde y = - (2*(- 2) + 5)/(- 2 + 1) = 1, cioè proprio il punto comune A(- 2, 1) come atteso.
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Le tangenti si ricavano per sdoppiamento rispetto al polo A delle forme normali canoniche delle due coniche
Ellisse α ≡ x^2 + 4*y^2 - 8 = 0
Iperbole β ≡ x*y + 2*x + y + 5 = 0
* p(α, A) ≡ - 2*x + 4*1*y - 8 = 0 ≡ y = x/2 + 2, di pendenza 1/2.
* p(β, A) ≡ (- 2*x + 1*y)/2 + 2*(x - 2)/2 + (y + 1)/2 + 5 = 0 ≡ y = - 7/2.
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Poiché p(β, A) è parallela all'asse x e p(α, A) ha pendenza positiva, l'ampiezza θ richiesta è l'arcotangente di 1/2
* θ = arctg(1/2) ~= 0.46 rad ~= 26° 33' 54''