[Risolto] problema di massimo e di minimo

a) Indicate con y e z le lunghezze degli altri due lati

dalla figura si riscontra y > x e z > x

e inoltre 3x + y + z = 45

per cui x > 0 va accompagnata da

y + z = 45 - 3x > x + x

45 > 2x + 3x

5x < 45

x < 9

Così 0 < x < 9

e queste sono le limitazioni per la parte b)

b) Il quadrato inferiore ha area x^2

Detto L il lato lungo orizzontale

x + L + x + x + 2x = 45

L = 45 - 5x

L'area complessiva é 2x*x la parte destra

e x(45 - 5x) la parte sinistra

S(x) = 45x - 5x^2 + 2x^2 = -3x^2 + 45x = -3 (x^2 - 15x)

e S é massima ( per 0 < x < 9 ) se la parentesi ha contenuto

di valore minimo. Si tratta di una parabola passante per l'origine

xmin = -B/(2A) = 15/2 = 7.5

e quindi x* = 7.5 m

S* = -3*(56.25 - 112.5) = 168.75 m^2

 

CONTI DA FARE NON CE NE SONO: tutto sta nel riconoscere e formalizzare le entità nominate.
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Quesito a.
Il lato verticale non marcato è lungo 2*x.
Il lato orizzontale non marcato è lungo 45 - 5*x = 5*(9 - x).
Ogni lato deve avere lunghezza positiva: (x > 0) & (5*(9 - x) > 0) ≡ 0 < x < 9.
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Quesito b.
La funzione da massimizzare è l'area S(x) della superficie recintata, somma del quadratino di lato x e del rettangolo con un lato x e l'altro 5*(9 - x) + x; in totale
* S(x) = y = x^2 + x*(5*(9 - x) + x) = 45*x - 3*x^2 = 675/4 - 3*(x - 15/2)^2
Ora
* y = 675/4 - 3*(x - 15/2)^2
è l'equazione di una parabola con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a = - 3 < 0, e perciò concavità verso y < 0 e massimo nel vertice
* vertice V(15/2, 675/4)
Quindi per x = 15/2 = 7.5 m si ha la massima area S(15/2) = 675/4 = 168.75 m^2