Problema di massimo e di minimo di geometria nello spazio

@ritatram

Ciao e benvenuta.

Il volume da massimizzare in oggetto è dato dalla somma di un cilindro di altezza:

h=a-x 

e di un cono avente per base quella del cilindro e per altezza:

h'= x/2

Base del cilindro e base del cono valgono

A=pi·(√3/2·x)^2 = 3·pi·x^2/4

Quindi il volume è dato da:

V(x)=3·pi·x^2/4·(a - x) + 1/3·(3·pi·x^2/4)·x/2 = pi·x^2·(6·a - 5·x)/8

con le limitazioni: 

a>0 ed x:  0<x<1

Quindi procediamo al calcolo di V'(x) poniamo per semplicità a=1

V(x)=pi·x^2·(6 - 5·x)/8------> V'(x)=3·pi·x·(4 - 5·x)/8

C.N. V'=0-----> 3·pi·x·(4 - 5·x)/8 = 0

quindi:

x = 4/5 ∨ x = 0

In corrispondenza a tale valore si ha un massimo. Infatti:

V''=3·pi·(2 - 5·x)/4 ------> V''(4/5)=3·pi·(2 - 5·(4/5))/4= - 3·pi/2<0

Il volume max è:

Vmax=pi·(4/5)^2·(6 - 5·(4/5))/8 = 4·pi/25 per a=1

 

Poniamo AP = x, con 0 <= x <= a

PC = a - x.

Osserviamo poi che

PR = a - x perché RPC é equilatero

PQ = x/2 * rad(3), APQ é metà di un triangolo equilatero

AQ = x/2, stesso motivo,

BQ = a - x/2

e detta S la proiezione di R su AB,

SB = a - x/2 - a + x = x/2

Ora

PQSR é un rettangolo : quando gira intorno ad AB genera un cilindro

di altezza PR e raggio di base PQ

V1 = TT PQ^2 * PR = TT * 3/4 x^2 *(a - x)

Analogamente, BSR quando gira genera un cono di altezza SB e raggio di base SR = PQ

V2 = TT/3 PQ^2 * SB = TT/3 * x^2/4 * 3 * x/2 = TT/8 x^3

V(x) = 3/4 TT x^2 (a - x) + TT/8 x^3 =

= TT/8 [ 6x^2 (a - x) + x^3 ] =

= TT/8 [ 6a x^2 - 5x^3 ]

massimo assoluto in [0, a]

dV/dx = TT/8 * (12ax - 15x^2 )>= 0

5x - 4a <= 0

x <= 4a/5

e trovi il massimo assoluto per x = 4a/5