Un trapezio isoscele ABCD, di base maggiore AB, è circoscritto a una circonferenza di centro O. Indica con Til punto di contatto della circonferenza con il lato obliquo BC e dimostra che il quadrato costruito su OT è equivalente al rettangolo che ha per lati la metà della base maggiore e la metà della base minore del trapezio.
(Suggerimento: dimostra preliminarmente che il triangolo BOC è rettangolo)
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Essendo AB e CD paralleli perché basi del trapezio ABCD, gli angoli B e C sono supplementari.
BO e CO sono le bisettrici degli angoli B e C essendo il trapezio circoscritto e dunque i lati del trapezio tangenti alla circonferenza. Questo ci dice che:
$ OCB + CBO = C/2 + B/2 = 180/2 = 90$
quindi per la somma degli angoli interni l'angolo:
$ COB = 180 - OCB - CBO = 180-90 = 90$
Essendo rettangolo, possiamo applicare il secondo teorema di Euclide al triangolo COB, in cui OT è altezza relativa all'ipotenusa essendo il raggio perpendicolare alla tangente in T:
$ OT^2 = CT * TB$
D'altra parte per il teorema delle tangenti condotte da un punto esterno, sappiamo che i segmenti di tangenza sono congruenti e in particolare $CT = CN$ e $BT=BM$. Dunque possiamo scrivere:
$ OT^2 = CN*BM$
dove $CN$ e $BM$ risultano essere proprio metà della base minore e maggiore rispettivamente.
Noemi
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