PROBLEMA DI GEOMETRIA CON LE CIRCOFERENZE:
Sia AB una corda di una circonferenza. Traccia la tangente in A alla circonferenza e considera su di essa un punto P tale che AP=AB. Chiama C il punto in cui la retta PB incontra ulteriormente la circonferenza e dimostra che AC=PC.
(Suggerimento dato dal libro: indica con alfa l'angolo ACP ed esprimi in funzione di alfa gli angoli dei triangoli APB e APC)
12
punti
Livello 0
Gli angoli BCA e BAP sono angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco AB e sono dunque congruenti:
$ BCA = BAP = \alpha$
Il triangolo ABP è isoscele (AB=AP per ipotesi), dunque per la somma degli angoli interni possiamo dire che:
$ APB = PBA = \frac{180-PAB}{2} = \frac{180-\alpha}{2} = 90- \frac{\alpha}{2}$
Inoltre l'angolo ABC è supplementare di PBA:
$ABC = 180 - PBA = 180 - (90 - \frac{\alpha}{2}) = 90+ \frac{\alpha}{2}$
Per la somma degli angoli interni nel triangolo ABC:
$BAC = 180 - ABC - BCA = 180 -(90+\frac{\alpha}{2}) - \alpha = 90 - \frac{3}{2} \alpha$
Ma allora:
$PAC = PAB + BAC = \alpha + 90 -\frac{3}{2}\alpha = 90 - \frac{\alpha}{2}$
Ma allora gli angoli $PAC=APC = 90 -\frac{\alpha}{2}$ e dunque APC è isoscele.
Noemi
9382
punti
Livello 5
