[Risolto] Problema di geometria analitica su un triangolo rettangolo

Le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo sono una 9/16 dell'altra; sapendo che l'altezza relativa all'ipotenusa misura 24 dm, calcola l'area e il perimetro del triangolo.

DEVE ESSERE RISOLTO UTILIZZANDO IL SISTEMA

[600 dm²; 120 dm)

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Proiezione cateto minore $=x$;

proiezione cateto maggiore $=y$;

Sistema applicando nella 1° equazione il 2° teorema di Euclide:

$\{x·y = 24^2$

$\{\frac{x}{y}=\frac{9}{16}$

 

$\{x·y = 24^2$

$\{x=\frac{9}{16}y$

sostituisci la $x$ nella prima equazione:

$\{\frac{9}{16}y·y = 24^2$

$\{x=\frac{9}{16}y$

 

$\{\frac{9}{16}y^2 = 24^2$

$\{x=\frac{9}{16}y$

 

$\{\sqrt{\frac{9}{16}y^2} = \sqrt{24^2}$

$\{x=\frac{9}{16}y$

 

$\{\frac{3}{4}y = 24$

$\{x=\frac{9}{16}y$

 

$\{3y = 96$

$\{x=\frac{9}{16}y$

 

$\{y = \frac{96}{3}$

$\{x=\frac{9}{16}y$

 

$\{y = 32$

$\{x=\frac{9}{16}y$

 

$\{y = 32$

$\{x=\frac{9}{16}·32$

 

$\{y = 32$

$\{x= 18$

 

quindi:

proiezione cateto minore $=x= 18~dm$;

proiezione cateto maggiore $=y= 32~dm$;

ipotenusa $ip= 18+32 = 50~dm$;

per i cateti applica ora il 1° teorema di Euclide:

cateto minore $c= \sqrt{50×18} = 30~dm$;

cateto maggiore $C= \sqrt{50×32} = 40~dm$;

infine:

perimetro $2p= 50+30+40 = 120~dm$;

area $A= \dfrac{C·c}{2} = \dfrac{40×30}{2} = 600~dm^2$.

Chiamo le due proiezioni ca e cb

{ ca/cb = 9/16     dato del problema

{ ca cb = 24^2 = 576     secondo Teorema di Euclide

 

moltiplicando  ca^2 = 9/16 * 576 = 9*36

ca = 3*6 dm = 18 dm

cb = ca : 9/16 = 18 dm * 16/9 = 32 dm

c = ca + cb = (18 + 32) dm = 50 dm

S = c h/2 = 50*24/2 dm^2 = 600 dm^2.

Per il Teorema di Pitagora infine

 

P = (50 + rad(18^2 + 24^2) + rad(32^2 + 24^2)) dm =

= (50 + 30 + 40) dm = 120 dm.