Problema di geometria

Con riferimento alla figura allegata:

consideriamo i triangoli rettangoli  ODT ed O'CT per essi si ha:

OT=r; O'T=3r

Quindi il rapporto di similitudine tra i due vale =r/(3·r) = 1/3= k

Quindi se ΑΒ = 6·r----> DC = 3·r =DT+TC

Con DT=1/3 TC:  

3r=1/3 TC+TC=4/3TC-----> TC=9/4r ---> DT=3/4r

Quindi le corde corrispondenti valgono:

AT=3/2r e BT=9/2r

La distanza dai centri vale:

OD =√(r^2 - (3/4·r)^2) = √7·r/4

O'C =√((3·r)^2 - (9/4·r)^2) = 3·√7·r/4

Presta attenzione ai triangoli $AOT$ e $BTO'$, sono entrambi triangoli isosceli, ciò vuol dire che gli angoli alla base $\widehat{ATO} \cong \widehat{TAO}$ $\widehat{BTO'} \cong \widehat{TBO'}$ sono congruenti a coppie, tuttavia gli angoli $\widehat{ATO}=\alpha$ e $\widehat{BTO'}=\alpha'$ sono opposti al vertice $T$, quindi $\alpha \cong \alpha '$, allora anche l'angolo al centro è congruente, quindi i triangoli sono simili (perché angoli corrispondenti sono congruenti fra loro). Allora i lati sono in un rapporto di similitudine uguale, quindi:

$\frac{\overline{AT}}{\overline{BT}}=\frac{3r}{r}=3$

$\overline{BT} = 3 \overline{AT}$

$\overline{AT} + \overline{TB} = \overline{AB} = 6r$

$\overline{AT} + \overline{AT} = 6r$
$4\overline{AT} = 6r$
$\overline{AT} = \frac{3}{2} r$

$\overline{BT} = 6r-\frac{3}{2}r = \frac{9}{2}r$.

Per calcolare la distanza dei segmenti dal centro delle rispettive circonferenze ti basta applicare il teorema di Pitagora:

Nota che $\overline{TC} = \frac{1}{2} \overline{AT}=\frac{3}{4}r$ e $\overline{TD} =\frac{1}{2} \overline{TB}=\frac{9}{4}r$ perché la perpendicolare alla base che passa per il vertice opposto è anche asse della base in un triangolo isoscele (significa che divide la base in due).

$\overline{OC} = \sqrt{\overline{OT}^2-\overline{TC}^2}=\sqrt{r^2-\frac{9}{16}r^2}=\sqrt{\frac{7}{16}r^2}=\frac{\sqrt{7}}{4}r$, mentre $\overline{O'D}=\sqrt{(3r)^2-(\frac{9}{4}r)^2}=\sqrt{9r^2-\frac{81}{16}r^2}=\sqrt{\frac{63}{16}r^2} = \frac{3\sqrt{7}}{4}r$.

ringrazio @ Gabi per la figura presa a prestito😊🌷