Problema di geometria

x=cateto 1

x-2= proiezione cateto 1 su ipotenusa (in cm)

Ipotenusa = 8 cm

cateto 2= √(8^2 - x^2) = √(64 - x^2)

1° teorema di Euclide:

x^2 = (x - 2)·8-----> x = 4 cm

cateto 2=√(64 - 4^2) = 4·√3 cm

perimetro=4 + 4·√3 + 8 = (4·√3 + 12) cm

area=1/2·4·4·√3 = 8·√3 cm^2

In un triangolo rettangolo la proiezione di un cateto sull'ipotenusa è 2 cm in meno del cateto stesso. Sapendo che l'ipotenusa è lunga 8 cm determina il perimetro e l’area del triangolo.

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Ipotenusa $\small  i= 8\,cm;$

cateto minore $\small c= x;$

proiezione del cateto minore $\small pc= x-2;$

$\small x^2 = 8(x-2)$ (dal 1° teorema di Euclide);

$\small x^2 = 8x-16$

$\small x^2-8x+16 = 0$

$\small a=1; b= -8; c= 16; \Delta= b^2-4ac = (-8)^2-4×1×16 = 64-64 = 0$ (discriminante $\small \Delta= 0$ quindi le due soluzioni sono reali e coincidenti);

$\small x_{1,2}= \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-8)\pm\sqrt{0}}{2×1} = \dfrac{8\pm 0}{2}  = 4$

per cui:

cateto minore $\small c= x= 4\,cm;$

proiezione del cateto minore $\small pc= x-2= 4-2 = 2\,cm;$

cateto maggiore $\small C= \sqrt{8^2-6^2} = 4\sqrt3\,cm\;(\approx{6,928}\,cm)$ (teorema di Pitagora);

perimetro $\small 2p= 8+6+4\sqrt3 = 12+4\sqrt3\,cm\;(\approx{18,628}\,cm;$

area $\small A= \dfrac{\cancel4^2×4\sqrt3}{\cancel2_1} = 2×4\sqrt3 = 8\sqrt3\,cm^2\;(\approx{13,8564}\,cm^2).$