Problema di Geometria

la somma delle diagonali di un rombo misura 22,4 cm e una diagonale è 4/3 dell’altra. Cal­cola la misura del diametro del cerchio inscrit­to nel rombo e la sua area.[7,68 cm; 14,74π cm2]

d2+4d2/3 = 7d2/3 = 22,4 cm

d2 = 22,4*3/7 = 9,60 cm

d1 = 9,60*4/3 = 12,80 cm

lato AB = √(d1/2)^2+(d2/2)^2 = √4,80^2+6,40^2 = 8,00 cm

raggio r = OH = (d1/2*d2/2)/AB = 4,80*6,40/8 = 3,84 cm

diametro d = 2*OH  = 3,84*2 = 7,68 cm 

area A = r^2*π = 14,74560*π cm^2

22,4/(4+3)=3,2    3,2*4=12,8=D   3,2*3=9,6=d    L=radquad 6,4^2+4,8^2=8

A=12,8*9,6/2=61,44cm2   2r=61,44/8=7,68cm   A=r^2*pi=14,74pi cm2

La somma delle diagonali di un rombo misura 22,4 cm e una diagonale è 4/3 dell’altra. Cal­cola la misura del diametro del cerchio inscrit­to nel rombo e la sua area.

[7,68 cm; 14,74π cm2] (Questi sono i risultati)

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Somma e rapporto tra le diagonali, quindi:

diagonale maggiore $D= \frac{22,4}{4+3}×4 = \frac {22,4}{7}×4 = 12,8~cm;$

diagonale minore $d= \frac{22,4}{4+3}×3 = \frac {22,4}{7}×3 = 9,6~cm;$

lato $l= \sqrt{\big(\frac{D}{2}\big)^2+\big(\frac{d}{2}\big)^2} = \sqrt{\big(\frac{12,8}{2}\big)^2+\big(\frac{9,6}{2}\big)^2} = \sqrt{6,4^2+4,8^2} = 8~cm$ (teorema di Pitagora);

diametro del cerchio inscritto:

$d= 2·r ~(= 2·ap) = 2·\dfrac{\frac{D}{2}·\frac{d}{2}}{l} = 2×\dfrac{\frac{12,8}{2}·\frac{9,6}{2}}{8}= 2×\dfrac{6,4×4,8}{8} =7,68~cm;$

area del cerchio inscritto $A= \dfrac{d^2·π}{4} = \dfrac{7,68^2·π}{4} = 14,7456π~cm^2.$

Il risultato atteso per l'area è ERRATO per malapprossimazione.
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In ogni poligono circoscrivibile l'area S è il semiprodotto fra perimetro p e inraggio r
* S = p*r/2 ≡ r = 2*S/p
quindi l'incerchio ha
* diametro Φ = 4*S/p
* area C = 4*π*(S/p)^2
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In ogni rombo di diagonali D > d > 0 si ha
* perimetro p = 2*√(d^2 + D^2)
* area S = d*D/2
da cui, per l'incerchio,
* diametro Φ = d*D/√(d^2 + D^2)
* area C = π*(d*D)^2/(4*(d^2 + D^2))
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Se s = d + D = 224 mm e D = 4*d/3, allora (d, D) = (96, 128) mm; da cui, per l'incerchio,
* diametro Φ = 96*128/√(96^2 + 128^2) = 384/5 mm = 7.68 cm
* area C = π*(96*128)^2/(4*(96^2 + 128^2)) =
= (36864/25)*π mm^2 = (14.7456)*π cm^2