Nella figura:
- ABC è un triangolo;
- è stata disegnata la circonferenza circoscritta ad $A B C$;
- Dè il punto in cui la perpendicolare ad $A B$ passante per $A$ incontra tale circonferenza;
- H è l'ortocentro del triangolo $A B C$.
Dimostra che:
a. $C H$ è parallelo ad $A D$;
c. $D C$ è parallelo ad $A H$;
d. $A D \cong C H$.
69
punti
Livello 1
1. CH è parallelo ad AD in quanto AD è perpendicolare ad AB, ma sappiamo anche che CH appartiene all'altezza tracciata da C, che, come sappiamo bene, è sempre perpendicolare alla relativa base, la quale è in questo caso AB. Pertanto CH ed AD presentano la stessa inclinazione rispetto ad un lato e sono quindi parallele.
2. BĈD è retto in quanto, prima di tutto, il triangolo ABD è retto in A e quindi per il teorema sui triangoli retti inscritti è inscritto in una semicirconferenza di diametro BD (il diametro nei triangoli retti inscritti sarebbe il lato opposto all'angolo retto). Sappiamo però anche che il quadrilatero ABCD è inscritto a sua volta, però in una circonferenza, e un quadrilatero è inscrivibile solo se la somma di una coppia di angoli opposti è uguale a 180°; quindi, sapendo che BÂD = 90°, il suo angolo opposto supplementare deve essere di 90° a sua volta.
3. DC è parallelo ad AH per lo stesso motivo elencato nel primo punto: AH è perpendicolare a BC, ma anche CD lo è in quanto BĈD è retto in C.
4. AD = CH in quanto il quadrilatero ADCH è un parallelogramma (dato che DC è parallelo ad AH e AD è parallelo a CH, e ciò è una condizione sufficiente per trovare un parallelogramma).
167
punti
Livello 1
