problema di geometria

x * y = 12;  (1)

Il reciproco di x è 1/x; Il reciproco di y è 1/y; 

(1/x)^2 + (1/y)^2 = 5 /18;  (2).

1/x^2 + 1/y^2 = 5/18;

moltiplichiamo per x^2 y^2 = (x * y)^2;

y^2 + x^2 = (x * y)^2 * 5/18;

x^2 + y^2 = 12^2 * 5/18;

x^2 + y^2 = 144 * 5/18;

x^2 + y^2 = 40;   (3)

y = 12/x ;  dalla (1); sostituiamo nella (3).

x^2 + 144/x^2 = 40;

x^4 - 40x^2 + 144 = 0; equazione di quarto grado; riconduciamola al secondo grado.

x^2 = k,

k^2 - 40 k + 144 = 0; 

k = 20 +- radice(20^2 - 144);

k = 20 +- radice(256) = 20 +- 16;

k1 = 20 + 16 = 36;

k2 = 20 - 16 = 4,

x^2 = 36;

x1 = + - 6;

x^2 = 4;

x2 = + - 2;

prendiamo le due soluzioni positive.

età = 6 ; 2,

6 * 2 = 12;

(1/6)^2 + (1/2)^2 = 1/36 + 1/4 = 1/36 + 9/36 = 10/36 = 5/18.

Ciao  @andreee

Dette x e y le due età, imposta il sistema:

{$xy = 12$

{$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{5}{18}$

Minimo comune multiplo:

{$xy = 12$

{$18y^2+18x^2=5x^2y^2$

Dalla prima isola una delle due incognite e sostituisci nella seconda:

{$y=\frac{12}{x}$

{$18\frac{144}{x^2}+18x^2=5x^2\frac{144}{x^2}$

Di nuovo minimo comune multiplo:

{$y=\frac{12}{x}$

{$2592+18x^4=720x^2$

Risolviamo la seconda come biquadratica:

$18x^4-720x^2+2592=0$

Posto $t=x^2$:

$18t^2-720t+2592=0$

Da cui

$t=36$ o $t=4$

e quindi

$x=6$ o $x=2$ (escludiamo le radici negative perchè parliamo di età)

Come puoi notare, sostituendo la x in $y=\frac{12}{x}$ ottieni nei due casi $y=2$ o $y=6$.

Quindi i cugini hanno 6 e 2 anni.

Noemi

I DUE BIMBINI HANNO DUE E SEI ANNI.
* 2*6 = 12
* 1/2^2 + 1/6^2 = 5/18
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In generale, il trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto).
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Con
* p = 12
si ha
* T(x) = x^2 - s*x + 12 = (x - X1)*(x - X2)
* Δ = s^2 − 48
* X1 = (s - √(s^2 − 48))/2
* X2 = (s + √(s^2 − 48))/2
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I quadrati degli zeri sono
* (X1)^2 = (s - √(s^2 − 48))^2/4
* (X2)^2 = (s + √(s^2 − 48))^2/4
e la somma dei loro reciproci è
* 4/(s - √(s^2 − 48))^2 + 4/(s + √(s^2 − 48))^2 =
= (s^2 - 24)/144 = 5/18
da cui
* s = ± 8
* T1(x) = x^2 + 8*x + 12 = (x + 6)*(x + 2)
* T2(x) = x^2 - 8*x + 12 = (x - 2)*(x - 6)

x*y = 12

1/x^2+1/y^2 = 5/18 

x2+y2 / x^2y^2 = 5/18

18(x^2+y^2) = 12^2*5

x^2+y^2 = 40 

x^2*y^2= 144

(40-y^2)*y^2 = 144

144+y^4-40y = 0

y^2  = (40-√1600-576)/2 = (40-32) / 2 = 4

y = 2 

x = 6