Un condensatore piano ha armature circolari di area 28,2 cm^2. Tra le armature c’è il vuoto. In 2*10^-2 s la densità superficiale di carica sull’armatura positiva del condensatore varia da 1,77*10^-5 C/m^2 a 2,21*10^-5 C/m.
a) Calcola il valore della corrente di spostamento all’interno del condensatore
b) Calcola il valore dell’intensità del campo magnetico generato dalla corrente che scorre nei fili collegati al condensatore a una distanza di 3,5 mm dal filo connesso all’armatura positiva
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Livello 1
Per risolvere questo problema, possiamo utilizzare la legge di Ampère-Maxwell per calcolare la corrente di spostamento e poi utilizzare la legge di Ampère per calcolare l'intensità del campo magnetico generato dalla corrente.
### a) Calcolo della corrente di spostamento:
La legge di Ampère-Maxwell ci dice che la corrente di spostamento attraverso una superficie chiusa è data dalla variazione nel tempo del flusso del campo elettrico attraverso quella superficie. In questo caso, poiché la densità superficiale di carica sta variando nel tempo, possiamo calcolare la corrente di spostamento utilizzando l'equazione:
\[ I_d = \frac{d\Phi_E}{dt} \]
Dove \( I_d \) è la corrente di spostamento, e \( \Phi_E \) è il flusso del campo elettrico attraverso la superficie del condensatore.
Poiché abbiamo un condensatore piano con armature circolari, il campo elettrico tra le armature è uniforme e diretto perpendicolarmente alle armature. Quindi il flusso del campo elettrico attraverso una delle armature è semplicemente il campo elettrico \( E \) moltiplicato per l'area dell'armatura:
\[ \Phi_E = E \cdot A \]
Dove \( A \) è l'area dell'armatura.
La densità superficiale di carica è definita come la carica per unità di area, quindi possiamo scrivere:
\[ \sigma = \frac{Q}{A} \]
Dove \( \sigma \) è la densità superficiale di carica e \( Q \) è la carica sull'armatura.
Possiamo quindi riscrivere il campo elettrico in funzione della densità superficiale di carica:
\[ E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \]
Dove \( \varepsilon_0 \) è la costante dielettrica nel vuoto.
Quindi il flusso del campo elettrico attraverso una delle armature diventa:
\[ \Phi_E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \cdot A \]
Ora, possiamo calcolare la corrente di spostamento:
\[ I_d = \frac{d}{dt} \left( \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \cdot A \right) \]
\[ I_d = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \cdot \frac{d\sigma}{dt} \]
Sostituendo i valori dati:
\[ I_d = \frac{(2.21 \times 10^{-5} \, \text{C/m}^2)(28.2 \times 10^{-4} \, \text{m}^2)}{\varepsilon_0} \cdot \frac{1.77 \times 10^{-5} \, \text{C/m}^2 - 2.21 \times 10^{-5} \, \text{C/m}^2}{2 \times 10^{-2} \, \text{s}} \]
Possiamo calcolare il valore numerico utilizzando la costante dielettrica nel vuoto \( \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \).
### b) Calcolo dell'intensità del campo magnetico:
Per calcolare l'intensità del campo magnetico generato dalla corrente, possiamo utilizzare la legge di Ampère. La legge di Ampère afferma che l'integrale di linea del campo magnetico attorno a un percorso chiuso è uguale alla corrente attraverso qualsiasi superficie che abbracci quel percorso.
Se la corrente è uniformemente distribuita lungo un filo, il campo magnetico \( B \) a una distanza \( r \) dal filo è dato da:
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
Dove \( \mu_0 \) è la permeabilità magnetica del vuoto e \( I \) è la corrente che attraversa il filo.
La corrente \( I \) che attraversa il filo è uguale alla corrente di spostamento \( I_d \) calcolata nella parte (a).
Sostituendo i valori dati, possiamo calcolare l'intensità del campo magnetico \( B \) a una distanza di \( 3.5 \, \text{mm} \) dal filo.
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Livello 1
@oraziosepe245678 grazie mille!
