[Risolto] Problema di Fisica con Circuito RC

f = q/C + R * dq / dt;

f * C - q = R * C * dq/dt;

dt = (R * C * dq) /(f * C - q);

chiamiamo f * C - q = x; dq = - dx;

dt = - RC * (dx) / x;

- dt/RC = (dx) / x;

Integriamo fra 0 e t;

Integrale da 0 a t di [- dt/RC] = Integrale da 0 a t di [(dx)/x];

ln[x(t) /x(0)] = - t/RC;

x(t) / x(0) = e^ (-t/RC);

x(t) = x(0) * e^(-t/RC),

f C - q = f C * e^(-t/RC);

q = f C - f C * e^(-t/RC)

q(t) = f C * [1 - e^(-t/RC) ]; legge di carica di un circuito RC.

RC = tau = 10 * 10^-4 = 10^-3 s; tempo caratteristico del circuito.

al tempo t = 0:

q(0) = 100 * 10^-4 * ( 1 - 1) = 0 C;

q(t) = 0,01 * (1 - e^(-t/10^-3);

q(tau) = 0,01 * (1 - e^-1) = 0,01 * (1 - 0,368) = 0,01 * 0,632.

al tempo tau il condensatore è carico al 63,2%.

Al tempo 3 tau si può considerare quasi carico (al 95%) :

q(3tau) = 0,01 * (1 - e^-3) = 0,01 * (1- 0,0498) = 0,01 * 0,95.

q max = f * C = 0,01 C

La corrente di spostamento nel transitorio di carica di una capacità C scarica da parte di una fem E attraverso una resistenza R decresce esponenzialmente col tempo da E/R a zero perché, via via che C si carica la ddp ai capi delle armature si oppone con sempre maggior forza all'acquisizione di ulteriore carica. I valori limite, al cresere del tempo di carica, sono: zero per la corrente; E per la ddp fra le armature; Q = C*E per la carica.
Tutte le esponenziali, crescenti o decrescenti, hanno la costante di tempo
* τ = R*C
---------------
Quella richiesta, la carica sulle armature, in quanto integrale della corrente
* i(t) = (E/R)*e^(- t/τ)
ha la forma
* q(t) = (E/R)*∫ (e^(- t/τ))*dt =
= c - E*C*e^(- t/τ)
e, dovendo valere zero all'inizio (capacità scarica) e Q all'infinito, vale
* q(t) = Q*(1 - e^(- t/τ))
---------------
Con i dati
* R = 10 Ω
* C = 10^(- 4) F
* τ = 10^(- 3) s
* E = 100 volt
si ha
* τ = 10^(- 3) s
* Q = 10^(- 2) C
* q(t) = (10^(- 2))*(1 - e^(- t/10^(- 3))) ≡
≡ q(t) = (1 - e^(-1000*t))/100 coulomb

costante di tempo Ƭ = R*C = 10^-3 sec 

 corrente i = 100/10*e*-(t*10^3)

V = E-R*i

Q = C*V = C*(E-R*i) ...il cui andamento nel tempo è  tabulato sotto !!