[Risolto] Problema derivate

Ciao!

Punto a)

Studiamo il limite all'infinito:

 

Studiamo il limita a $0^+$:

Studiamo la monotonia (crescenza/decrescenza) facendo attenzione che in $x = 0$ si vede bene che la funzione ha un punto stazionario (infatti vedi che si "appiattisce", quindi la retta tangente in quel punto è orizzontale, che è proprio ciò che significa essere punto stazionario):

 

 

Punto b) Abbiamo già studiato la derivata nel punto precedente! 

Punto c) 

Dopo una rapida discesa iniziale, dopo circa 2 ore ($x=2$ è il tempo in ore) la descrescita "rallenta" e la concentrazione del medicinale nel sangue tende lentamente a diminuire fino a raggiungere quasi lo $0$. 

Punto d) Sul grafico non è segnalato il punto $0.1$ sull'asse delle ordinate, ma analiticamente studiare $f(x) \leq 0.1$ è complesso perché abbiamo un prodotto tra polinomio e esponenziale. Dal grafico, circa, avviene dopo 9.5/10 ore. 

In $x = 10$ infatti possiamo vedere con la calcolatrice che vale circa 0.08, mentre in $x = 9.5$ vale $0.099 \approx 0.1 $

Punto e)

 

Calcoliamo il primo integrale per parti: 

Quindi: 

In generale l'interpretazione dell'integrale è l'area sottesa alla curva. Ovviamente è positiva (perché sta sopra l'asse $x$) e vale poco meno di $8$ (la parte con l'esponenziale è molto piccola!); possiamo vedere che la parte più grande dell'area sta nelle prime ore.