Sono date le curve
(:
a. Dopo aver trovato l'equazione cartesiana di
b. Verifica che hanno in comune soltanto un punto
c. Calcola l'area della regione finita di piano che ha per contorno la curva
Il numero 35
Sono date le curve
(:
a. Dopo aver trovato l'equazione cartesiana di
b. Verifica che hanno in comune soltanto un punto
c. Calcola l'area della regione finita di piano che ha per contorno la curva
Il numero 35
* α ≡ x*y - x - 3*y + 4 = 0 ≡ y = (x - 4)/(x - 3) [iperbole con: asintoti {x = 3; y = 1}; centro C(3, 1).]
* β ≡ luogo di P(k + 3, 1 + √(2 - k^2)) ≡
≡ (x = k + 3) & (y = 1 + √(2 - k^2)) ≡
≡ (k = x - 3) & (y = 1 + √(2 - (x - 3)^2))
cioè
* β ≡ y = 1 + √(- (x^2 - 6*x + 7)) ≡
≡ ((x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 2) & (y >= 1) [semicirconferenza con: raggio r = √2; centro C(3, 1).]
==============================
RISPOSTE AI QUESITI
------------------------------
a) β ≡ y = 1 + √(- (x^2 - 6*x + 7))
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5By%3D%28x-4%29%2F%28x-3%29%2C%28x-3%29%5E2%2B%28y-1%29%5E2%3D2%5Dx%3D0to6%2Cy%3D1to4
------------------------------
b) (y = (x - 4)/(x - 3)) & ((x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 2) & (y >= 1) ≡
≡ (y = (x - 4)/(x - 3)) & ((x - 3)^2 + ((x - 4)/(x - 3) - 1)^2 = 2) & (y >= 1)
---------------
La risolvente
* (x - 3)^2 + ((x - 4)/(x - 3) - 1)^2 - 2 = 0 ≡
≡ ((x - 2)*(x - 4)/(x - 3))^2 = 0
ha due zeri doppi per x in {2, 4} cui corrispondono i punti (doppi, di tangenza)
* T1(2, (2 - 4)/(2 - 3) = 2), T2(4, (4 - 4)/(4 - 3) = 0)
---------------
Quindi
≡ (y = (x - 4)/(x - 3)) & ((x - 3)^2 + ((x - 4)/(x - 3) - 1)^2 = 2) & (y >= 1) ≡
≡ (T1(2, 2) oppure T2(4, 0)) & (y >= 1) ≡
≡ T(2, 2)
------------------------------
c) La comune tangente t per T(2, 2) è ortogonale al raggio che giace sulla retta
* CT ≡ y = 4 - x
quindi deve avere pendenza uno, forma
* t(q) ≡ y = x + q
e soddisfare a
* 2 = 2 + q
quindi è la bisettrice dei quadranti dispari
* t ≡ y = x
---------------
La zona di cui si chiede l'area A è
* (2 <= x <= 3 + √2) & (1 + √(- (x^2 - 6*x + 7)) <= y <= x)
quindi
* A = ∫ [x = 2, 3 + √2] (x - 1 - √(- (x^2 - 6*x + 7)))*dx
---------------
* f(x) = x - 1 - √(- (x^2 - 6*x + 7))
--------
* F(x) = ∫ f(x)*dx = ∫ (x - 1)*dx - ∫ (√(- (x^2 - 6*x + 7)))*dx =
= ((x - 1)^2 - 1)/2 - ((x - 3)/2)*√(- (x^2 - 6*x + 7)) + arcsin((x - 3)/√2) + c
--------
* I(f, a, b) = F(b) = F(a) = ((b - 1)^2 - (b - 3)*√(-(b - 6)*b - 7) + 2*arcsin((b - 3)/√2) - (a - 1)^2 + (a - 3)*√(-(a - 6) a - 7) - 2*arcsin((a - 3)/√2))/2
---------------
* A = (((3 + √2) - 1)^2 - ((3 + √2) - 3)*√(-((3 + √2) - 6)*(3 + √2) - 7) + 2*arcsin(((3 + √2) - 3)/√2) - (2 - 1)^2 + (2 - 3)*√(-(2 - 6) 2 - 7) - 2*arcsin((2 - 3)/√2))/2 =
= (8*(1 + √2) + 3*π)/4 ~=
~= 7.1846216
Ti faccio il primo punto, poi vorrei sinceramente vedere un tuo tentativo di andare avanti. Per trovare
adesso dalla prima ricavi k e sostituisci nella seconda:
Era così difficile? Quali problemi hai su una domanda del genere?