[Risolto] Problema (corretto) sulle coniche

* α ≡ x*y - x - 3*y + 4 = 0 ≡ y = (x - 4)/(x - 3) [iperbole con: asintoti {x = 3; y = 1}; centro C(3, 1).]
* β ≡ luogo di P(k + 3, 1 + √(2 - k^2)) ≡
≡ (x = k + 3) & (y = 1 + √(2 - k^2)) ≡
≡ (k = x - 3) & (y = 1 + √(2 - (x - 3)^2))
cioè
* β ≡ y = 1 + √(- (x^2 - 6*x + 7)) ≡
≡ ((x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 2) & (y >= 1) [semicirconferenza con: raggio r = √2; centro C(3, 1).]
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) β ≡ y = 1 + √(- (x^2 - 6*x + 7))
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5By%3D%28x-4%29%2F%28x-3%29%2C%28x-3%29%5E2%2B%28y-1%29%5E2%3D2%5Dx%3D0to6%2Cy%3D1to4
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b) (y = (x - 4)/(x - 3)) & ((x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 2) & (y >= 1) ≡
≡ (y = (x - 4)/(x - 3)) & ((x - 3)^2 + ((x - 4)/(x - 3) - 1)^2 = 2) & (y >= 1)
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La risolvente
* (x - 3)^2 + ((x - 4)/(x - 3) - 1)^2 - 2 = 0 ≡
≡ ((x - 2)*(x - 4)/(x - 3))^2 = 0
ha due zeri doppi per x in {2, 4} cui corrispondono i punti (doppi, di tangenza)
* T1(2, (2 - 4)/(2 - 3) = 2), T2(4, (4 - 4)/(4 - 3) = 0)
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Quindi
≡ (y = (x - 4)/(x - 3)) & ((x - 3)^2 + ((x - 4)/(x - 3) - 1)^2 = 2) & (y >= 1) ≡
≡ (T1(2, 2) oppure T2(4, 0)) & (y >= 1) ≡
≡ T(2, 2)
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c) La comune tangente t per T(2, 2) è ortogonale al raggio che giace sulla retta
* CT ≡ y = 4 - x
quindi deve avere pendenza uno, forma
* t(q) ≡ y = x + q
e soddisfare a
* 2 = 2 + q
quindi è la bisettrice dei quadranti dispari
* t ≡ y = x
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La zona di cui si chiede l'area A è
* (2 <= x <= 3 + √2) & (1 + √(- (x^2 - 6*x + 7)) <= y <= x)
quindi
* A = ∫ [x = 2, 3 + √2] (x - 1 - √(- (x^2 - 6*x + 7)))*dx
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* f(x) = x - 1 - √(- (x^2 - 6*x + 7))
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* F(x) = ∫ f(x)*dx = ∫ (x - 1)*dx - ∫ (√(- (x^2 - 6*x + 7)))*dx =
= ((x - 1)^2 - 1)/2 - ((x - 3)/2)*√(- (x^2 - 6*x + 7)) + arcsin((x - 3)/√2) + c
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* I(f, a, b) = F(b) = F(a) = ((b - 1)^2 - (b - 3)*√(-(b - 6)*b - 7) + 2*arcsin((b - 3)/√2) - (a - 1)^2 + (a - 3)*√(-(a - 6) a - 7) - 2*arcsin((a - 3)/√2))/2
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* A = (((3 + √2) - 1)^2 - ((3 + √2) - 3)*√(-((3 + √2) - 6)*(3 + √2) - 7) + 2*arcsin(((3 + √2) - 3)/√2) - (2 - 1)^2 + (2 - 3)*√(-(2 - 6) 2 - 7) - 2*arcsin((2 - 3)/√2))/2 =
= (8*(1 + √2) + 3*π)/4 ~=
~= 7.1846216

Ti faccio il primo punto, poi vorrei sinceramente vedere un tuo tentativo di andare avanti. Per trovare $\beta$ devi esplicitare le coordinate $x$ e $y$

$\{\begin{array}{ll}x& =k+3\\ y& =1+\sqrt{2-k^2}\end{array}$

adesso dalla prima ricavi k e sostituisci nella seconda:

$k=x-3$

$y=1+\sqrt{2-k^2}=1+\sqrt{2-(x-3{)}^2}=1+\sqrt{2-(x^2-6x+9)}=1+\sqrt{-x^2+6x-7}$

Era così difficile? Quali problemi hai su una domanda del genere?